श्रोडिंगर समीकरण क्या है , आइगेन मान और आइगेन फलन , संकारक की परिभाषा

(schrodinger wave equation in hindi) श्रोडिंगर समीकरण : श्रोडिंगर equation को क्वांटम यांत्रिकी के अभिग्रहितो का उपयोग करके आसानी से व्युत्पन्न किया जा सकता है।
माना एक single particle या कण जैसे electron , जिसका द्रव्यमान m , वेग v हो तो इसकी कुल ऊर्जा गतिज ऊर्जा एवं स्थितिज ऊर्जा का योग होती है।
E_x= T_x + V_x …… (x coordinate के लिए )
परन्तु गतिज ऊर्जा T_x= P_x²/2m
E_x = P_x²/2m + V_x ……

इस समीकरण को श्रोडिंगर समीकरण कहते है।

आइगेन मान और आइगेन फलन

यदि किसी संकारक A की फलन Ψ पर संक्रिया (process) द्वारा परिणाम के रूप में किसी गुणांक a_i के साथ वही फलन प्राप्त हो तो ऐसे फलन को आइगेन फलन व गुणांक a_i को आइगेन मान कहते है।

संकारक x आइगेन फलन = आइगेन मान x वही फलन

A Ψ_i = a_i Ψ_i

यहाँ A = फलन का संकारक

Ψ_i= संकारक A का आइगेन फलन

a_i= संकारक A का आइगेन मान

आइगेन मान वास्तविक व काल्पनिक हो सकता है , परन्तु यह सदैव स्थिर गणितीय मान होता है।

संकारक

संकारक एक बीज गणितीय पद है जो एक फलन को दूसरे फलन में परिवर्तित करने का निर्देश देता है।

संकारक x फलन = नया फलन

वह फलन जिस पर संकारक कार्य करता है , संकार्य (operent)

जैसे dfx/dx में d/dx = संकारक तथा fx = संकार्य

संकारको का बीजगणित

1. योग एवं व्यकलन : यदि संकारको को जोड़ा या घटाया जाता है तो नए संकारक प्राप्त होते है।

माना A तथा B दो भिन्न संकारक है तथा f एक फलन है तो

(A + B )f = Af + Bf

(A – B )f = Af – Bf

2. गुणात्मक संकारक : यदि A तथा B दो भिन्न संकारक है और f एक फलन है तो

(A.B)f = Af’ = f”

अत: किसी फलन पर दो या दो से अधिक संकारको की संक्रिया की जाए तो इसे गुणात्मक संकारक कहते है।

3. कम्यूटेटर operator : किसी फलन पर दो संकारको को किसी भी क्रम में संकारित करने जैसे एक जैसे परिणाम प्राप्त होते है तो संकारक कम्यूटेटर संकारक (operator) कहलाते है।

A तथा B दो संकारक कम्यूट कहलायेंगे यदि

(A.B)f = (B.A)f

दो कम्यूटेटर संकारको A व B के लिए [A.B] = 0

4. थालाशियन संकारक : यह अवकलन संकारक है इसे ∇² से व्यक्त करते है।

∇²= d²/dx² + d²/dy² + d²/dz²

5. हेमिल्टोनियन संकारक : किसी तंत्र की कुल ऊर्जा (स्थितिज ऊर्जा + गतिज उर्जा ) के लिए हेमिल्टोनियन संकारक को काम में लिया जाता है।