प्रश्न : (prove that these points are of rectangle) सिद्ध कीजिये कि चार बिन्दु (0 , -1) , (6 , 7) , (-2 , 3) और (8 , 3) एक आयत के शीर्ष है।
उत्तर : सबसे पहले इन बिन्दुओं को एक ग्राफ पर प्रदर्शित करेंगे।
जान ले कि आयत की क्या विशेषताएं होती है –
- आयत के आमने-सामने की भुजायें समान लम्बाई की और समान्तर होती है।
- दोनों विकर्णों की लम्बाई समान होती है और एक दूसरे को समद्विभाजित करती है।
- आमने सामने की भुजाओं का ढाल समान होना चाहिए जिससे यह सिद्ध हो जाता है कि आमने सामने की भुजा समान्तर है।
स्टेप 1 : सबसे पहले बिन्दुओं को किसी ग्राफ विधि से प्रदर्शित करते है , जैसा हमने किया है –
याद रखे सिर्फ चित्र को देखकर यह न अनुमान लगा ले कि यह आयत है या नहीं। इसका पता हम गणना करने के बाद ही लगायेंगे।
जैसा कि हम जानते है की दो बिन्दुओं के मध्य की दूरी निम्न सूत्र द्वारा ज्ञात की जाती है –
स्टेप 2 : बिंदु B और C के मध्य की दूरी और बिंदु A तथा D के मध्य की दूरी इस दिए गए सूत्र से ज्ञात करते है –
दूरी (BC भुजा की लम्बाई) =
हल करने पर भुजा BC की लम्बाई = √82
अब इसी प्रकार भुजा AB की लम्बाई =
इसे हल करने पर भी भुजा AB की लम्बाई = √82 प्राप्त होती है।
अब भुजा AB की लम्बाई =
हल करने पर भुजा AB की लम्बाई = √20 प्राप्त होती है।
इसी प्रकार भुजा DC की लम्बाई ज्ञात करने पर –
इसे हल करने पर भी हमें भुजा DC की लम्बाई √20 प्राप्त होती है।
निष्कर्ष : भुजा AB और CD की लम्बाई समान है तथा भुजा BC और AD की लम्बाई भी समान है।
अर्थात इस आकृति की आमने सामने की भुजाओं की लम्बाई समान है जो कि एक आयत का गुण होता है इसलिए यह एक आयत है।