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एक लटू ऊर्ध्वाधर से 20° का कोण बनाते हुये 20 चक्कर प्रति सेकण्ड की दर से चक्रण कर रहा है।

उदाहरण 16 : एक लटू ऊर्ध्वाधर से 20° का कोण बनाते हुये 20 चक्कर प्रति सेकण्ड की दर से चक्रण कर रहा है। इसका द्रव्यमान 0.7 किग्रा. है तथा इसका जड़त्व आघूर्ण 5.0×104 किग्रा.-मी2. है। मूल बिन्दु से द्रव्यमान केन्द्र की दूरी 5.0 सेमी. है। ऊपर से देखने पर चक्रण दक्षिणावती दिखाई देते हैं। पुरस्सरण का कोणीय वेग व दिशा ज्ञात कीजिये।

हल : पुरस्सरण का कोणीय वेग

यहाँ    ωp = mgr/j = mgr/Iω

M = 0.7 किग्रा

G = 9.8 मी./से2.

r= 0.05 मी.

I =  5.0 x 10-4 किग्रा-मी.2

ω= 2π x 20 = 40π रेडियन/सेकण्ड

पुरस्सरण का कोणीय वेग

ωp =   0.7 x 9.8 x 0.05/ 5.0 x 10-4 x 40 x 3.14

= 5.46  रेडियन/सेकण्ड

पुरस्सरण की दिशा भी दक्षिणावर्ती होगी।

उदाहरण 13: यदि उदाहरण (12) के निकाय की छड़ X-अक्ष के सापेक्ष ω कोणीय वेग से घूर्णन कर रही है तो निकाय के कोणीय संवेग के घटक ज्ञात करो। क्या कोणीय संवेग J और कोणीय वेग सदिश ω समान्तर हैं ?

हलः घूर्णन करते हुए पिण्ड के कोणीय , संवेग Jऔर कोणीय वेग ω के घटकों में सामान्य रूप से निम्न सम्बन्ध होते हैं

JX = IXX ωx + IXY ωy + IXZ ωZ

JY = IYX ωx + Iyy ωy + IYZ ωZ

JZ = IZX ωx + Izy ωy + IZZ ωZ,

प्रश्नानुसार

ω = ω X, अतः ωx = ω, ωy, = ωz = 0.

अतः कोणीय संवेग के घटक

JX = JXX ω

JY = IYX ω व JZ = 0    (: यहाँ सममिति से IZX =- Σ mizixi = 0)

अर्थात् जब छड XY तल में स्थित होती है, तब कोणीय संवेग सदिश भी XY तल में ही स्थित होगा।। इसका कोणीय वेग ω से झुकाव ज्ञात करने के लिए।

JY /JX = IYX/IXX = IXY/IXX = tan ϕ

यहाँ ϕ  J व ω के मध्य कोण है।

IXY = – 2.598 x 104 ग्राम-सेमी.2 तथा

IXX = 4.5 x 104 ग्राम-सेमी.2

Tan ϕ = 2.598 x 104/4.5 x 104

= – 0.577

ϕ = tan-1 ‘(-0.577)= 30°

अतः J, ω के समान्तर नहीं है तथा यह छड़ के लम्बवत् X-अक्ष से -30° के कोण पर है।

उदाहरण 14 : 100g तथा 150g के दो कण 50cm लम्बी छड़ के सिरों पर स्थित हैं। कार्तीय निर्देशांक पद्धति का मूल बिन्दु इस निकाय के द्रव्यमान केन्द्र पर है। छड़ X-Y तल में स्थित है तथा x-अक्ष से 60° कोण बनाती है।

() निकाय के जड़त्वीय गुणांकों की गणना कीजिये।

(i) यदि छड़ X-अक्ष के परितः 20 rad/s के कोणीय वेग से घूर्णन करे तो निकाय के कोणीय संवेग का परिमाण व दिशा ज्ञात कीजिये।

हलः 100g के कण से द्रव्यमान केन्द्र की दूरी

R1 = 100 x 0 + 150 x 50 / 100 +150 = 30 cm

अतः द्रव्यमान केन्द्र के सापेक्ष 100g के कण के निर्देशांक होंगे

X1 =30 cos 60° = 15 cm

Y1 = 30 sin 60° = 26 cm

Z1 = 0

इसी प्रकार 150g के कण के निर्देशांक होंगे

X2 =- 20 cos 60° =-10 cm                      (r2 = 50 – 30 = 20 cm)

Y2 =- 20 sin 60° =-17.32 cm

Z2 =0

जड़त्वीय गुणांक

|XX = Σ mI(r2i  – x2i)

= 100(302 – 152) + 150(202 –102)

= 100(900 – 225)+ 150(400-100)

=67500 + 45000 = 11.25 x 104 +g-cm

IXY = IYX = – Σmi xi yi

=-100 x 15 x 26 – 150 x 10 x 17.32

=- 39000 – 25980 =- 06.50 x 104 g-cm2

IYY = Σmi (ri2 – y2i)

= 100(900 – 676) + 150(400 – 300)

= 22400 + 15000 = 3.74 x 104 g-cm2

Izz = Σ mi (ri2 + z2i)

[1] = -6.50 370

= 100 x 900 + 150 x 400

= 15.0 x 104 g-cm2

Ixz = Izx = Iyz = Izy = 0

|11.25    -6.60   0|

[1]   =   |-6.50      3.74     0| x 104 g-cm2

|0              0    15.0|

(ii) जब छड़ X-अक्ष के परितः 20 rad/s की चाल से घूर्णित है तब ω = 20 x.

Jx =   Ixx ωx + Ixy ωy + Ixz ωz

= 11.25 x 104 x 20

=22.5 x 105  erg-sec.

Jy = Iyx, ωx, + Iyy ωy , + Iyz ωz

= – 6.5 x 104 x 20

=-13.0 x 105 erg-sec

JZ = IZX ωx + IZY ωy + IZZ ωZ

= 0

कोणीय संवेग का परिमाण J = (J2X  + J2Y)1/2

= [22.52 + (-13.0)2]1/2 x 105

= (506.25 +169.0)1/2 x 105

= 26.0 x 105 erg-s

यदि कोणीय संवेग की दिशा X-अक्ष से ϕ कोण पर है तो

tan ϕ = JY/JX = – 13.0/22.5 = – 0.58

ϕ = – tan-1 (0.578)

= – 300

उदाहरण 15: एक निकाय में तीन समान द्रव्यमान m क्रमशः बिन्दु (a, 0,0); (0, a ,0) तथा (0.0, a) पर स्थित हैं। इस निकाय के सभी जड़त्वीय गुणांक ज्ञात कीजिये।।

हल : चित्र में तीन द्रव्यमान दिये हुए बिन्दुओं पर दिखाये गए हैं। जड़त्वीय गुणांकों के मान निम्न

Ixx = Σ mi (ri2 – x2i)

= Σ mi (Yi2 + Z2i)

= m (0 + 0 ) +m(a2 + 0) + m(0 + a2)

= 2ma2

Iyy = Σ mi (r2i – yi2) = Σ mi (x2i  + z2i)

= m (a2 +0)+ m(0 +0)+ m(0 + a2)

= 2ma2

IZZ = Σmi (ri2 – z2i) = Σmi (xi2 + y2i)

= m (a2 + 0) + m(0 + a2) +m(0 + 0)

= 2ma2

IXY = IYX = – Σmi xi yi

= – m x a x 0 – m x 0 x a – m x 0 x 0 = 0

= 0

IXZ = IZX = – Σmi xi zi

=- m x 0 x 0 – m x a x 0 – m x 0 x a

= 0

Iyz = IZY = – Σmi yi zi

= – m x 0 x 0 – m x a x 0 – m x 0 x a

= 0

सभी जड़त्वीय गुणांकों को मैट्रिक्स के रूप में रखने पर

[2ma2   0     0]

[I]  =  [0      2ma2   0]

[0      0   2ma2]

 

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