एक खोखले गोले का द्रव्यमान 1kg है एवं इसकी भीतरी व बाहरी त्रिज्याऐं क्रमशः। 0.1m तथा 0.2m है। गोले का इसके व्यास के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण ज्ञात कीजिये|

उदाहरण 8: एक खोखले गोले का द्रव्यमान 1kg है एवं इसकी भीतरी व बाहरी त्रिज्याऐं क्रमशः। 0.1m तथा 0.2m है। गोले का इसके व्यास के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण ज्ञात कीजिये|

हलः प्रश्नानुसार

M = 1kg

R₁ = 0.2m, R₂ = 0.1 m

व्यास के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण

I = 2/5 M (R⁵₁ – R₂⁵/R³₁ – R₂³)

= 2/5 x 1 [(0.2)⁵ – (0.1)⁵/(0.2)³ – (0.1)³]

= 2/5 x 32 – 1/8 – 1

= 2/5 x 31/7 = 1.77 kg-m²

उदाहरण 9 : एक कण की गतिज ऊर्जा 18 जूल है। यदि कोणीय संवेग सदिश घूर्णन अक्षर संपातित है और कण का जड़त्व आघूर्ण इस अक्ष के सापेक्ष 10² किग्रा.-मी. है तो कण का कोणी संवेग ज्ञात करो।

हलः चूंकि कोणीय संवेग सदिश घूर्णन अक्ष से सम्पातित है। अतः ।

J = lω

घूर्णन गतिज ऊर्जा    E_rot = 1/2 Iω² = 1/2 I² ω²/I = J²/2I

J = √2IE_rot = √2 x 10^-4 x 18

= 6 x 10^-2 किग्रा.-मी./सेकण्ड

उदाहरण 10: आप समान दव्यमान तथा समान बाह्य त्रिज्या R के ठोस और खोखले गोलों की पहचान किस प्रकार करेंगे?

हलः घूर्णन अक्ष के सापेक्ष ठोस गोले का जड़त्व आघूर्ण

I = 2/5 MR² = MK²₁

परिभ्रमण त्रिज्या   K_I = √2/5 R

यदि खोखले गोले की आन्तरिक त्रिज्या  r हो तो घूर्णन अक्ष के सापेक्ष इसका जड़त्व आघूर्ण

I = 2/5 M (R⁵ – r⁵/R³ – r³) = MK²₂

खोखले गोले की घूर्णन त्रिज्या

K₂ = √2/5 (R⁵ – r⁵/R³ – r³)

K²₁/K₂² = [1 – r³/R³/1- r⁵/R⁵] परन्तु R > r अंत r⁵/R⁵ < r³/R³

1 = r⁵/R⁵ > 1 – r³/R³

K²₁ < K₂²

चूंकि K² का मान ठोस गोले के लिये खोखले गोले के अपेक्षाकृत कम है अतः दोनों को एक साथ नत तल पर लुढ़काने पर उत्पन्न त्वरण

F = (g sin θ/1 + K²/R²)

का मान ठोस गोले के लिए खोखले गोले से अपेक्षाकत अधिक होगा। अतः एक साथ नत तल पर लुढका कर हम पायेगे कि ठोस गोला, खोखले गोले की तुलना में कम समय में ही नत तल के नीचे पहुच जाता है।

उदाहरण 11: R₁  आन्तरिक त्रिज्या, R₂ बाह्य त्रिज्या,L लम्बाई और M द्रव्यमान वाले खोखले बेलन की मुख्य अक्षों (principal axes) के सापेक्ष जड़त्वीय आघूर्ण ज्ञात करो।

हल  : चित्र में  खोखले बेलन की तीनों मुख्य अक्ष X.Y.Z दिखाई गई हैं। अक्ष Z.खोखले बेलन की ज्यामिति अक्ष है तथा X और Y बेलन के केन्द्र से पारित तथा Z-अक्ष के लम्बवत् अक्ष है।

ज्यामितीय सममिति  (geometrical symmetry) के कारण X व Y अक्ष के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण  बराबर होगा।

I_x  = I_y

Z-अक्ष के सापेक्ष बेलन का जडत्व आघूर्ण निकालने के लिए बेलन को अनेक खोखली डिस्क से बना हुआ माना जा सकता है।

चित्र में एक ऐसी ही डिस्क दिखाई गई है। माना डिस्क का द्रव्यमान m_i  तथा आन्तरिक और बाह्य त्रिज्यायें क्रमशः R₁  व R₂  हैं। Z-अक्ष के सापेक्ष खोखली डिस्क का जड़त्व आघूर्ण

I_I = 1/2 m_i (R₁² + R²₂)

अतः खोखले बेलन का Z-अक्ष के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण

I = 1/2  Σm_i (R₁² + R²₂)

= 1/2 (R₁² + R²₂) Σm_i = 1/2 M (R₁² + R²₂)  (Σm_i = M)

अब मुख्य अक्षों X व Y के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करने के लिय पहले हमें AB के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करना होगा और फिर समान्तर अक्षों के प्रमेय से X-अक्ष के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण ज्ञात सकेंगे।

माना dr मोटाई की खोखली डिस्क की बेलन की केन्द्र से दूरी r है। यदि बेलन की एकांक लाना का द्रव्यमान m हो तो

M = M/L

तथा डिस्क का द्रव्यमान = m.dr

डिस्क का अपने व्यास के सापेक्ष जडत्व आघूर्ण

Di_AB = 1/4 (mdr) (R²₁ + R₂²)

Di_X = Di_AB  + (m.dr)r²

= 1/4 (mdr) (R²₁ + R₂²) + (mdr)r²

Di_x = (mdr) (R₁² + R²₂)/4 + (mr²)dr

पूरे बेलन का X-अक्ष के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण निकालने के लिए चर राशि r को -L/2 से +L2 तक समाकलन करना होगा।

I_x = ∫dI_x = 1/4 m (R²₁ + R₂²) ∫ dr + m ∫ r².dr

इसी प्रकार     I_x = M (R²₁ + R₂²/4 + L²/12)            (I_X = I_Y)

उदाहरण 12 : 100 ग्राम और 200 ग्राम के दो द्रव्यमान 30 सेमी. की एक हल्की छड़ (द्रव्यमान नगण्य) से पृथक किये गए हैं। इनके द्रव्यमान केन्द्र पर निर्देश तंत्र का मूल बिन्दु है। छड़ X-Y तल में स्थित है और Y-अक्ष से 30° का कोण बनाती है। इस निकाय के जड़त्वीय गुणांक I_XX. और I_XY ज्ञात कीजिये।

हलः 100 ग्राम के द्रव्यमान से द्रव्यमान केन्द्र की स्थिति

R_cm =  100 x 0 + 200 x 30/100 + 200 =  20 सेमी.

चित्रानुसार द्रव्यमान केन्द्र के सापेक्ष, 100 ग्राम द्रव्यमान के कार्तीय निर्देशाक

X₁ = 20 sin 30°

= 20 x 0.5 = 10 सेमी

Y₁ = 20 cos 30° = 20 x 1.732/2 = 17.32 सेमी.

Z₁ = 0

200 ग्राम द्रव्यमान के कार्तीय निर्देशांक

X₂ =-10 sin 30° =- 10 x = – 5.00 सेमी.

y₂ =-10 cos 30° =-10 x √3/2 = – 8.66 सेमी.

Z₂, =0

उपरोक्त निर्देशांकों के आधार पर जड़त्वीय गुणांकों का मान निम्न रूप से ज्ञात किया जाता है।

I_XX = Σm_i (r_i² – x²_i)

= 100[(20)² -(10)² ] + 200[(10)² -(5.0)²]

= 100 x 300 + 200 x 75

=3x 10⁴ + 1.5 x 10⁴ + = 4.5 x 10⁴ ग्राम-सेमी.

I_XX = Σm_i X_I Y_i

=-(100(17.32)(10)-(200)(-5.00)(-8.66)

=-1.732 x 10⁴ – 0.866 x 10⁴

=-2.598 x 10⁴ ग्राम-सेमी²