प्रणोदित दोलक की गतिज ऊर्जा तथा ऊर्जा अनुनाद (Kinetic Energy of a Forced Oscillator and Energy Resonance in hindi)

प्रणोदित दोलक की गतिज ऊर्जा तथा ऊर्जा अनुनाद (Kinetic Energy of a Forced Oscillator and Energy Resonance in hindi)

यदि किसी अवमन्दित सरल आवर्ती दोलक पर प्रत्यावर्ती बल F = F_o sin ωt कार्यरत है तो स्थाई अवस्था में प्रणोदित दोलक का विस्थापन खण्ड (2.1) के समीकरण (8) द्वारा प्राप्त होता है।

x = x_o sin (ωt – φ) ………………………….(1)

यहाँ x₀ तथा φ के मान हैं :  x₀ = F₀/m[(ω₀² – ω₂)² + 4r²ω²]^1/2 ……………….(2)

तथा   φ = tan^-1  2rω/(ω₀² – ω²)

दोलक का वेग

V = dx/dt = ωx₀ cos (ωt – φ) ………………………………..(3)

अतः प्रणोदित दोलक की गतिज ऊर्जा

K = 1/2 m (dx/dt)²

K = 1/2 mx₀²ω²cos² (ωt – φ) …………………………….(4)

एक दोलन के लिए दोलक की माध्य गतिज ऊर्जा

<k> = 1/2 mx₀² ω² <cos² (ωt – φ)>

अब चूंकि

<cos² (ωt – φ) > = 1/T +cos² (ωt – φ ) dt = 1/2 होता है

अतः   < k > = 1/4 mx₀² ω²

X₀ का मान समीकरण (2) से रखने पर

<K> = 1/4 mF₀² ω²/m²[(ω₀² – ω²)² + 4r² ω²

<k> = F₀²/4m[(ω₀² – ω²/ ω)² + 4r² ……………………………………(5)

समीकरण (5) से स्पष्ट है कि प्रणोदित दोलक की माध्य गतिज ऊर्जा आरोपित बल का आवृत्ति ω पर निर्भर करती है। जैसे-जैसे चालक बल की आवृत्ति ω शून्य से बढ़ायी जाती है, माध्य गतिज ऊर्जा का मान बढ़ने लगता है। एक स्थिति ω = ω₀ पर माध्य गतिज ऊर्जा का मान अधिकतम हो जाता है। तत्पश्चात् ω में वृद्धि करने से माध्य गतिज ऊर्जा का मान कम होता है। चित्र (5) में आवृत्ति ω के साथ दोलक की माध्य गतिज ऊर्जा के परिवर्तन को प्रदर्शित किया गया है।

माध्य गतिज ऊर्जा के अधिकतम मान के लिए समीकरण (5) के हर का मान न्यूनतम होना चाहिए।

[(ω₀² – ω²/ ω)² + 4r² ] = न्यूनतम

d/d ω = [(ω₀² – ω²/ ω)² + 4r² ] = 0

2(ω₀²/ ω – ω) (-ω₀²/ ω² – 1) = 0

ω = ω₀ ………………………..(6)

अतः जब दोलक की आवृत्ति ω = ω₀ होती है तब प्रणोदित दोलक की माध्य गतिज ऊजो अधिकतम होती है अर्थात्  प्रणोदित दोलक आरोपित बल लगाने वाले निकाय से अधिकतम ऊर्जा का अवशोषण करता है। दोलक की अधिकतम ऊर्जा की स्थिति को ऊर्जा अनुनाद कहते हैं।

समीकरण (6) को (5) में रखने पर,

दोलक की अधिकतम माध्य गतिज ऊर्जा

<K>_max = F₀²/4m 1/ 4r²

T = 1/2r

<k>_max = F₀²/4m t²

<k>_max = F₀²Q²/4k ………………………………….(7)

Q = ω₀t   k = m ω₀²

प्रणोदित दोलक द्वारा शक्ति अवशोषण एवं विशेषता गुणांक (Power Absorption by Forced Oscillator and Quality Factor)

याद किसी अवमन्दित दोलक पर प्रणोदित प्रत्यावती बल F = F₀ sin ωt लगाया जाता है तो स्थाई अवस्था में चालित आवृत्ति ω से दोलन करता है और दोलक एक सेकण्ड में प्रणोदित बल दार किये गये कार्य के बराबर शक्ति अवशोषित कर लेता है।

दोलक द्वारा अवशोषित शक्ति P = Fv

P = F₀v sin ωt …………………………….(1)

दोलन के विस्थापन का समीकरण

x =x₀ sin (ωt – φ)

यहाँ  x₀ = F₀/m[(ω₀² – ω²)² + 4r²ω²]^1/2 …………………………….(2)

तथा  φ = tan^-1  2rω /( ω₀² – ω²) ……………………………..(3)

दोलक का वेग

V = dx/dt = ωx₀ cos (ωt – φ) …………………………(4)

समीकरण (4) को (1) में रखने पर

P = ωx₀F₀ sin. ωt cos (ωt – φ)

= ωx₀F₀ [sin ωt cos ωt cos φ + sin² ωt sin φ]

. माध्य शक्ति अवशोषण

<P> = ωx₀F₀ [cos φ <sin ωt cos ωt> + sin φ <sin² ωt>]

चूंकि एक दोलन के लिए माध्य

<sin² ωt> = 1/2  तथा <sin ωt cos ωt> = 0 है।

<P> = 1/2 ωx₀F₀ sin φ …………………….(5)

समीकरण (3) से.

Sin φ = tan φ/ 1 + tan² φ = 2rω/[(ω₀² – ω²)² + 4r²ω²]^1/2 ………………………….(6)

समीकरण (2) तथा (6) को (5) में रखने पर

<P> = 1/2 (2r) m ω²x₀²

<P> = 1/2 F₀²/m  2rω²/[(ω₀² – ω²)² + 4r²ω²] ……………………………….(7)

<P> = F₀²/m   r/[(ω₀/ω – ω)² + 4r²

समीकरण (7) से <P> का मान अधिकतम होगा जब हर न्यूनतम होगा अर्थात

[(ω₀²/ω – ω)² + 4r² ] = न्यूनतम

d/dω [(ω₀² /ω – ω)² + 4r² ] = 0

2 (ω₀²/ ω – ω)  (ω₀²/ ω – 1) = 0

ω = ω₀

अर्थात् जब चालक बल की आवृत्ति ω, दोलक की स्वाभाविक आवृत्ति ω₀ के बराबर होती है तो अधिकतम शक्ति का हस्तान्तरण होता है।

अतः इस स्थिति में हस्तान्तरित अधिकतम शक्ति

<P>_max = F₀²/m 1/4r

1/2r = t रखने पर

<P>_max = F₀²/ 2m t ………………………………….(8)

चित्र (6) उपरोक्त चित्र (6) में चालक आवृत्ति के साथ दोलक द्वारा शक्ति अवशोषण के परिवर्तन को प्रदर्शित किया गया है। यह वक्र अनुनाद वक्र (resonancecurve) कहलाता है और यह अनुनादी आवृत्ति के दोनों तरफ सममित (symmetrical) होता है। इस वक्र पर दो बिन्दु A तथा B होते हैं जहाँ पर माध्य शक्ति <P> अधिकतम अवशोषित शक्ति <P>_max की आधी होती है। इन बिन्दुओं को अर्ध शक्ति बिन्दु (half power point) कहते हैं।

अर्ध शक्ति बिन्दुओं पर <P> = 1/2 <P>_max

समीकरण (7) तथा (8) रखने पर

F_o²/m  r/[( ω₀²/ ω – ω)² + 4r² ] = 1/2 F₀²/m 1/4r

[(ω₀²/ ω – ω)² + 4r² ] = 8r²

ω₀² / ω – ω = 2r

(ω₀ – ω) (ω₀ + ω) = 2rω

यदि अर्ध शक्ति बिन्दुओं की आवृत्तियाँ ω₀ के निकट हैं तो ω₀ + ω = 2ω माना जा सकता है

ω₀ – ω = r ……………………………..(9)

अर्ध शक्ति बिन्दुओं पर आवृत्तियाँ

ω₁ = ω₀ – r तथा ω₂ = ω₀ + r …………………………(10)

अर्ध शक्ति बिन्दुओं पर आवृत्तियों का अन्तर

(ω₂ – ω₁) = 2r …………………………..(11)

इन अर्ध शक्ति बिन्दुओं पर आवृत्तियों के अन्तराल को बैंड-विस्तार (band width) भी कहते हैं।

दोलक का विशेषता गुणांक Q = ω₀t = ω₀/2r

समीकरण (11) से 2r = | ω₂,- ω₁ समीकरण (10) में रखने पर,

Q = ω₀/| ω₂ – ω₁| = f₀/|f₂ – f₁| ………………………………(12)

यहाँ आवृत्ति

F₀ = ω₀/2π  दोलन/से.

विशेषता गुणांक    Q = स्वाभाविक आवृत्ति  / बैंड-विस्तार …………………….(13)

अतः बैंड-विस्तार या |f₂ – f₁ |का मान जितना कम होता है, Q का मान उतना ही अधिक होता है तथा अनुनाद भी उतना ही अधिक तीक्ष्ण होता है। इसलिए अनुनाद की तीक्ष्णता Q का मापन बैंड-विस्तार से भी कर सकते हैं।