द्रव का बहिस्त्राव वेग या टोरिसेली का नियम , flow of liquid in hindi or torricelli’s law , बर्नूली सिद्धांत

flow of liquid in hindi , द्रव का बहिस्त्राव वेग या टोरिसेली का नियम , torricelli’s law , बर्नूली सिद्धांत :-

बहते हुए द्रव की ऊर्जा :

1. द्रव की गतिज ऊर्जा
2. द्रव की स्थितिज ऊर्जा
3. द्रव की दाब ऊर्जा
4. द्रव की गतिज ऊर्जा    –

गतिज ऊर्जा = mV²/2

K = mv²/2

चूँकि m = dv

K = dv V²/2

यहाँ v = आयतन

V = वेग

(i) इकाई आयतन पर गतिज ऊर्जा –

K/V = dv V²/2V

K/V = dV²/2

(ii) इकाई द्रव्यमान पर गतिज ऊर्जा –

K/m = mv²/2m

K/m = v²/2

2. बहते हुए द्रव की स्थितिज ऊर्जा –

U = mgh

चूँकि m = dv

U = dvgh

(i) इकाई आयतन पर स्थितिज ऊर्जा :

U/V = dvgh/V

U/V = dgh

(ii) इकाई द्रव्यमान पर स्थितिज ऊर्जा –

U/m = mgh/m

U/m = gh

3. बहते हुए द्रव की दाब ऊर्जा –

दाब ऊर्जा = बल x विस्थापन

दाब ऊर्जा = F x L

चूँकि P = F/A

F = PA

F = PAL

चूँकि N = AL

F = PV

चूँकि V = m/u

F = pm/d

(i) इकाई आयतन पर दाब ऊर्जा –

PV/V = P

(ii) इकाई द्रव्यमान पर दाब ऊर्जा –

PM/dxm = P/d

बर्नूली सिद्धांत : बर्नूली ने बताया कि जब किसी असमान अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाली नली में द्रव बहता है तो उसके इकाई आयतन व इकाई द्रव्यमान पर उसकी दाब ऊर्जा , गतिज ऊर्जा व स्थितिज ऊर्जा का योग नियत रहता है। इसे बर्नूली का सिद्धान्त या बर्नूली प्रमेय कहा जाता है।

माना असमान अनुप्रस्थ काट वाली नली में बिंदु A का क्षेत्रफल A₁ , दाब P₁ , V₁ आयतन है। तथा इसमें बिंदु B पर दाब P₂ क्षेत्रफल A₂ , वेग V₂ है अत: बर्नूली सिद्धांत है।

बरनौली सिद्धांत का सत्यापन :

बहते हुए द्रव को दाब ऊर्जा

(i) A सिरे पर द्रव की दाब ऊर्जा = P₁A₁V₁

(ii) B सिरे पर द्रव की दाब ऊर्जा = P₂A₂V₂

दाब ऊर्जा में परिवर्तन = P₁A₁V₁ – P₂A₂V₂

शैथिल्य समीकरण = A₁V₁ – A₂V₂ = m/d

P₁A₁V₁ – P₂A₂V₂

₍P₁ – P₂)A₁V₁

₍P₁ – P₂)m/d  समीकरण-1

2. गतिज ऊर्जा (K) = mv²/2

A बिंदु पर गतिज ऊर्जा = K₁ = mv₁²/2

B बिंदु पर गतिज ऊर्जा = K₂ = mv₂²/2

गतिज ऊर्जा में परिवर्तन –

△K = K₂ – K₁

△K = mv₂²/2 – mv₁²/2 समीकरण-2

3. स्थितिज ऊर्जा (U) = mgH

A बिंदु पर स्थितिज ऊर्जा –

U₁ = mgh₁

B बिंदु पर स्थितिज ऊर्जा –

U₂ = mgh₂

स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन –

△U = U₂ – U₁

△U = mgh₂ – mgh₁ समीकरण-3

₍P₁ – P₂)m/d = mv₂²/2 – mv₁²/2 + mgh₂ – mgh₁

 P₁m/d – P₂m/d = mv₂²/2 –  mv₁²/2 + mgh₂ – mgh₁

P₁m/d + mv₁²/2 + mgh₁ = P₂m/d + mv₂²/2 + mgh₂

m[P₁/d + v₁²/2 + gh₁ ] = m[P₂/d + v₂²/2 + gh₂]

P₁/d + v₁²/2 + gh₁  = P₂/d + v₂²/2 + gh₂

बर्नूली प्रमेय के अनुप्रयोग :

(i) द्रव का बहिस्त्राव वेग या टोरिसेली का नियम :- माना किसी टैंक में H ऊँचाई तक द्रव भरा हुआ है। h गहराई पर इस टैंक में एक छिद्र किया जाता है। माना छिद्र वाले बिंदु B पर द्रव का बहिस्त्राव v₂ तथा वायुमंडलीय दाब Pa है। बिंदु A पर द्रव का वेग v₁ तथा वायुमंडलीय दाब Pa है। बिंदु A व B पर वायुमंडलीय दाब का मान समान है।

अत: बर्नूली के सिद्धांत से –

P_a + dV₁²/2 + dgH = P_a + dV₂²/2 + dg(H-h)

dV₁²/2 + dgH = dV₂²/2 + dgH- dgh

dV₁²/2 = dV₂²/2 – dgh

dV₂²/2 – dV₁²/2 = dgh

(V₂² – V₁²)d/2 = dgh

(V₂² – V₁²)d = 2dgh

V₂² – V₁² = 2gh

(i)                  यदि A बिंदु पर द्रव स्थिर हो तो –

V₁ = 0

V₂² = 0 = 2gh

V₂² = 2gh

V₂ = √2gh

(ii)                यदि A बिंदु पर द्रव का वेग शून्य नहीं हो तो –

V₂² – V₁² = 2gh

V = √2gh