एक अवमन्दित दोलक का द्रव्यमान तथा स्वाभाविक आवृत्ति क्रमशः m व ω0 है और अवमन्दन गुणांक का परिमाण m ω0/2

उदाहरण – एक अवमन्दित दोलक का द्रव्यमान तथा स्वाभाविक आवृत्ति क्रमशः m व ω₀ है और अवमन्दन गुणांक का परिमाण m ω₀/√2 हा यदि चालक बल F₀ cos (ω₀ t √2) हो तो सिद्व करो कि चालक बल द्वारा t = 0 एव t = π/ω₀ के बीच दोलक को दी गई ऊर्जा F₀ ² ( π – √2)/4m ω₀² होगी।

हलः प्रश्नानुसार,

अवमन्दन गुणांक λ = m ω₀/√2

दोलक का द्रव्यमान = m

चालक बल F = F₀ cos

चालक बल की आवृत्ति ω = ω₀/√2

विश्रान्तिकाल t = m/ λ = √2/ ω₀

(1) दोलक का आयाम x₀ = F₀/m 1/[( ω₀² – ω²)² + ω²/t²]^1/2

= F_o/m 1/√(ω₀² – ω₀²/2)² + ω₀²/2 . ω₀²/2

= F_0√2/m ω₀² …………………………….(1)

(ii) दोलक की प्रारंभिक कला ¢ = tan^-1 ω/t/( ω₀² – ω²) = tan^-1 ω₀/√2 ω₀/√2 /( ω₀² – ω₀²/2)

= tan^-1 1 = π/4 …………………….(2)

दोलक के विस्थापन का समीकरण

x = x_o cos (ωt – φ)

X = F₀√2/mω₀² cos (ω₀t/√2 – π) ……………………………(3)

दोलक का वेग dx/dt = – F₀/mω₀ sin (ω₀t/√2 – π/4) …………………………(4)

चालक बल द्वारा t = 0 एवं t = ω₀/√2 के बीच दोलक को दी गई ऊर्जा

E = ∫F^πω0√2 dx = ^(πω0√2) ∫F dx/dt dt

समीकरण (3) व (4) से मान रखने पर

E = ^(πω0√2) F₀²/mω₀ cos (ω₀t/√2) sin (ω₀t/√2 – π/4) dt

= – F_o√2/mω₀ ^(πω0√2)cos (ω₀t/√2) [sin (ω₀t/√2)cos π/4 – cos (ω₀t/√2) sin – π/4] dt

= – F₀²/ mω₀²√2 ^(πω0√2) [sin ω₀t √2 – cos √2 – 1]dt

= – F₀²/ mω₀²√2 = [- cos ω₀t/√2/ ω₀/√2 – t ] ^πω0√2

E = F₀²(π – 2)/4m ω₀²