सिद्ध करो कि किसी आवर्ती रूप से भारित डोरी (periodically louded string) में युग्मित कम्पन किसी सतत् माध्यम में तरंग के समरूप होते हैं।

उदाहरण-13. सिद्ध करो कि किसी आवर्ती रूप से भारित डोरी (periodically louded string) में युग्मित कम्पन किसी सतत् माध्यम में तरंग के समरूप होते हैं।

हल : किसी आवर्ती रूप से भारित डोरी के p^th कण के गति का समीकरण

D²y_p/dt² = T/ma (y_p+1 – 2y_p + y_p-1)……………………………….(1)

माना दो क्रमागत कणों के बीच की दूरी a को δx लिखते हैं तथा  δx की limit लेने पर अर्थात् δx – 0 होने पर द्रव्यमान कण एक दूसरे से मिलकर सतत् डोरी का रूप ग्रहण कर लेंगे।

D²y_p/dt² = T/m [y_p+1 – 2y_p + y_p-1/ δx]

= T/m [(y_p+1 – y_p/ δx) – (y_p – y_p-1/ δx)]

= T/m [(δy/ δx)_p+1 – (δy/ δx)_p] …………………………(2)

(dy/dx)_x+dx – (dy/dx)_x = d²y/dx² dx ………………………………….(3)

Limit δx →0 लेने पर तथा subscripts को छोड़ने पर समीकरण (2) प्राप्त होगा।

D²y/dt² = T/m (d²y/dx²)dx

D²y/dt² = (T/m dx) (d²y/dx²)

D²y/dt² = T/P d²y/dx² ……………………………………(4)

P = m/dx डोरी का रेखीय घनत्व (Linear density) है ।

समीकरण (4) सतत् डोरी में उत्पन्न तरंग का समीकरण होता है। अतः यह समीकरण किसी सतत् माध्यम में तरंग समीकरण के समरूप है।

उदाहरण-14. यदि तीन द्रव्यमान m₁, m₂ तथा m₃ आपस में इस प्रकार जुड़े हैं कि द्रव्यमान m₁ तथा m₃ द्रव्यमान m₂ के साथ समान स्प्रिंग नियतांक K वाली स्प्रिंगों से जुड़े हैं तो इस युग्मित निकाय के गति का समीकरण लिखिए तथा m₁ =  m₂ लेकर उसके सामान्य कम्पन विधाओं की आवृत्तियों का मान ज्ञात कीजिए इस व्यवस्था का उपयोग करके CO₂ अणु के कम्पन आवृत्तियों के अनुपात की गणना कीजिए।

हल : माना द्रव्यमान m₁, m₂ तथा m₃ के उसकी सन्तुलन व्यवस्था से विस्थापन क्रमशः x₁ ,x₂ तथा x₃ हैं। द्रव्यमानों की व्यवस्था को निम्न चित्र में प्रदर्शित किया गया है

माना x₃ > x₂ > x₁ हो तो कण m₁ के गति का समीकरण

M₁ d²x₁ /dt² = K (x₂ – X₁ )……………………………….(1)

कण m₂ के गति का समीकरण

M₂ d²x₂/dt² = k (x₃ – x₂) – k (x₂ – x₁) ……………………………(2)

तथा कण m₃ के गति का समीकरण

M₃ d²x₃/dt² = – k (x₃ – x₂) …………………………………(3)

यदि m₁ = m₃ हो तो समीकरण (3) में से समीकरण (1) को घटाने पर

M₁ (d²x₃/dt² – d²x₁/dt²) = – k (x₃ – x₁)

माना (X₃ – x₁ ) = x हो तो

D²x/dt² + k/m₁ x = 0 ………………………..(4)

समीकरण (4) को हल करने पर प्रथम सामान्य विधा प्राप्त होगी, यदि उस विधा की आवृत्ति ω₁ है तो

ω₁² = k/m₁  या ω₁ = k/m₁  ………………………………….(5)

अन्य सामान्य विधाओं को ज्ञात करने के लिए माना

X₁ = A cos (ωt + φ)

X₂ = B cos (ωt + φ)

X₃ = C cos (ωt + φ) …………………………(6)

समीकरण (6) के मान समीकरण (1). (2) तथा (3) में रखने पर

(k – m₁ω²) A = KB……………………………………..(7)

(2K – m₂ω² B = K (A + C)……………………..(8)

(K – m₃ω²) C = KB ………………………..(9)

समीकरण (7). (8) तथा (9) को हल करने पर द्वितीय सामान्य विधा की आवृत्ति का मान प्राप्त है।

CO₂ के लिए    m₁ = m₃

समीकरण (7) व (9) की तुलना करने पर,

A = C

समीकरण (8) में A = C रखने पर

(2K – m₂ ω²) B = 2KA …………………………………………….(10)

समीकरण (7) व (10) से.

A/B = K/K – m₁ ω² = 2k – m₂ ω²/2k

ω²₂ = ω² = k (2m₁ + m₂)/m₁m₂

दोनों कम्पन विधाओं की आवृत्तियों का अनुपात होगा।

ω₂/ ω₁  = k (2m₁ + m₂)/m₁m₂/k/m₁ = (2m₁ + m₂)/m₂

ω₂/ ω₁ = (2m₁ + m₂/m₂)^1/2 ………………………………….(11)

उपर्युक्त द्रव्यमानों की व्यवस्था को co₂ अणु के लिए उपयोग करने पर।

M₁ = 16   m₂ = 12   m₃ = m₁ = 16

अणु के कम्पन विधाओं की आवृत्तियों का अनुपात होगा

ω₂/ ω₁ = (2 x 16 + 12/12)^1/2 = (32 + 12/12)^1/2 = (44/12)^1/2 = 1.91.

उदाहरण-15. m द्रव्यमान के दो दोलित्र A व B जिनके स्प्रिंग नियतांक क्रमशः k_a व k_b  है, को k_c स्प्रिंग नियतांक की एक स्प्रिंग से युग्मित किया गया है। सामान्य विधा की आवृत्तियाँ ज्ञात कीजिये।

हल : m द्रव्यमान के दो दोलित्र जिनके बल नियतांक k_a तथा k_b  है को k_c बल नियतांक के एक स्प्रिंग से चित्रानुसार युग्मित किया गया है।

इस स्थिति में दोलित्रों के गति के समीकरण निम्न होंगे।

M d²x_a/dt² + k_ax_a – k_c (x_b – x_a) = 0

M d²x_b/dt² + k_bx_b – k_c(x_a – x_b) = 0

D²x_a/dt² + (k_a – k_c/m)x_a – k_c/m x_b = 0

D²x_b/dt² + (k_b + k_c/m) x_b – k_c/m x_a = 0

K_a + k_c/m = ω_a², k_b + k_c/m = ω_b², ω_c² = kc/m

D²x_a/dt² + ω_a²x_a – ω_c²x_b = 0

D²x_b/dt² + ω_b²x_b – ω_c²x_a = 0

दोनों दोलकों की गति सरल आवर्त गति होगी तथा सामान्य विधा में प्रत्येक की आवृत्ति ) ω होने से उपरोक्त समीकरणों के हल निम्न मान सकते हैं।

X_a = A sin (ωt)

X_B = B sin (ωt)

X_a व x_b के मान गति के समीकरणों पर रखने पर

• ω²A + ω_A² A – ω_C² B = 0
• ω²B + ω_B² – ω_C² A = 0

A/B = ω_C²/(ω_A² – ω²) = ω_B² – ω²/ω_C²

(ω_A² – ω²)( ω_B² – ω²) = ω_C²

यह समीकरण  ω² के द्विघात का समीकरण है तथा इसके हल से सामान्य विधाओं की आवृत्तियों प्राप्त होगी।

यदि     k_A  = k_B हो तो अर्थात्

ω_A = ω_B

(ω_A² – ω²) = + ω_C²

ω² = (ω_A² + ω_C²)

K_A + K_C/m + k_c/m

ω = √k_a/m   ω = √k_a + 2k_c/m