उदाहरण-13. सिद्ध करो कि किसी आवर्ती रूप से भारित डोरी (periodically louded string) में युग्मित कम्पन किसी सतत् माध्यम में तरंग के समरूप होते हैं।
हल : किसी आवर्ती रूप से भारित डोरी के pth कण के गति का समीकरण
D2yp/dt2 = T/ma (yp+1 – 2yp + yp-1)……………………………….(1)
माना दो क्रमागत कणों के बीच की दूरी a को δx लिखते हैं तथा δx की limit लेने पर अर्थात् δx – 0 होने पर द्रव्यमान कण एक दूसरे से मिलकर सतत् डोरी का रूप ग्रहण कर लेंगे।
D2yp/dt2 = T/m [yp+1 – 2yp + yp-1/ δx]
= T/m [(yp+1 – yp/ δx) – (yp – yp-1/ δx)]
= T/m [(δy/ δx)p+1 – (δy/ δx)p] …………………………(2)
(dy/dx)x+dx – (dy/dx)x = d2y/dx2 dx ………………………………….(3)
Limit δx →0 लेने पर तथा subscripts को छोड़ने पर समीकरण (2) प्राप्त होगा।
D2y/dt2 = T/m (d2y/dx2)dx
D2y/dt2 = (T/m dx) (d2y/dx2)
D2y/dt2 = T/P d2y/dx2 ……………………………………(4)
P = m/dx डोरी का रेखीय घनत्व (Linear density) है ।
समीकरण (4) सतत् डोरी में उत्पन्न तरंग का समीकरण होता है। अतः यह समीकरण किसी सतत् माध्यम में तरंग समीकरण के समरूप है।
उदाहरण-14. यदि तीन द्रव्यमान m1, m2 तथा m3 आपस में इस प्रकार जुड़े हैं कि द्रव्यमान m1 तथा m3 द्रव्यमान m2 के साथ समान स्प्रिंग नियतांक K वाली स्प्रिंगों से जुड़े हैं तो इस युग्मित निकाय के गति का समीकरण लिखिए तथा m1 = m2 लेकर उसके सामान्य कम्पन विधाओं की आवृत्तियों का मान ज्ञात कीजिए इस व्यवस्था का उपयोग करके CO2 अणु के कम्पन आवृत्तियों के अनुपात की गणना कीजिए।
हल : माना द्रव्यमान m1, m2 तथा m3 के उसकी सन्तुलन व्यवस्था से विस्थापन क्रमशः x1 ,x2 तथा x3 हैं। द्रव्यमानों की व्यवस्था को निम्न चित्र में प्रदर्शित किया गया है
माना x3 > x2 > x1 हो तो कण m1 के गति का समीकरण
M1 d2x1 /dt2 = K (x2 – X1 )……………………………….(1)
कण m2 के गति का समीकरण
M2 d2x2/dt2 = k (x3 – x2) – k (x2 – x1) ……………………………(2)
तथा कण m3 के गति का समीकरण
M3 d2x3/dt2 = – k (x3 – x2) …………………………………(3)
यदि m1 = m3 हो तो समीकरण (3) में से समीकरण (1) को घटाने पर
M1 (d2x3/dt2 – d2x1/dt2) = – k (x3 – x1)
माना (X3 – x1 ) = x हो तो
D2x/dt2 + k/m1 x = 0 ………………………..(4)
समीकरण (4) को हल करने पर प्रथम सामान्य विधा प्राप्त होगी, यदि उस विधा की आवृत्ति ω1 है तो
ω12 = k/m1 या ω1 = k/m1 ………………………………….(5)
अन्य सामान्य विधाओं को ज्ञात करने के लिए माना
X1 = A cos (ωt + φ)
X2 = B cos (ωt + φ)
X3 = C cos (ωt + φ) …………………………(6)
समीकरण (6) के मान समीकरण (1). (2) तथा (3) में रखने पर
(k – m1ω2) A = KB……………………………………..(7)
(2K – m2ω2 B = K (A + C)……………………..(8)
(K – m3ω2) C = KB ………………………..(9)
समीकरण (7). (8) तथा (9) को हल करने पर द्वितीय सामान्य विधा की आवृत्ति का मान प्राप्त है।
CO2 के लिए m1 = m3
समीकरण (7) व (9) की तुलना करने पर,
A = C
समीकरण (8) में A = C रखने पर
(2K – m2 ω2) B = 2KA …………………………………………….(10)
समीकरण (7) व (10) से.
A/B = K/K – m1 ω2 = 2k – m2 ω2/2k
ω22 = ω2 = k (2m1 + m2)/m1m2
दोनों कम्पन विधाओं की आवृत्तियों का अनुपात होगा।
ω2/ ω1 = k (2m1 + m2)/m1m2/k/m1 = (2m1 + m2)/m2
ω2/ ω1 = (2m1 + m2/m2)1/2 ………………………………….(11)
उपर्युक्त द्रव्यमानों की व्यवस्था को co2 अणु के लिए उपयोग करने पर।
M1 = 16 m2 = 12 m3 = m1 = 16
अणु के कम्पन विधाओं की आवृत्तियों का अनुपात होगा
ω2/ ω1 = (2 x 16 + 12/12)1/2 = (32 + 12/12)1/2 = (44/12)1/2 = 1.91.
उदाहरण-15. m द्रव्यमान के दो दोलित्र A व B जिनके स्प्रिंग नियतांक क्रमशः ka व kb है, को kc स्प्रिंग नियतांक की एक स्प्रिंग से युग्मित किया गया है। सामान्य विधा की आवृत्तियाँ ज्ञात कीजिये।
हल : m द्रव्यमान के दो दोलित्र जिनके बल नियतांक ka तथा kb है को kc बल नियतांक के एक स्प्रिंग से चित्रानुसार युग्मित किया गया है।
इस स्थिति में दोलित्रों के गति के समीकरण निम्न होंगे।
M d2xa/dt2 + kaxa – kc (xb – xa) = 0
M d2xb/dt2 + kbxb – kc(xa – xb) = 0
D2xa/dt2 + (ka – kc/m)xa – kc/m xb = 0
D2xb/dt2 + (kb + kc/m) xb – kc/m xa = 0
Ka + kc/m = ωa2, kb + kc/m = ωb2, ωc2 = kc/m
D2xa/dt2 + ωa2xa – ωc2xb = 0
D2xb/dt2 + ωb2xb – ωc2xa = 0
दोनों दोलकों की गति सरल आवर्त गति होगी तथा सामान्य विधा में प्रत्येक की आवृत्ति ) ω होने से उपरोक्त समीकरणों के हल निम्न मान सकते हैं।
Xa = A sin (ωt)
XB = B sin (ωt)
Xa व xb के मान गति के समीकरणों पर रखने पर
- ω2A + ωA2 A – ωC2 B = 0
- ω2B + ωB2 – ωC2 A = 0
A/B = ωC2/(ωA2 – ω2) = ωB2 – ω2/ωC2
(ωA2 – ω2)( ωB2 – ω2) = ωC2
यह समीकरण ω2 के द्विघात का समीकरण है तथा इसके हल से सामान्य विधाओं की आवृत्तियों प्राप्त होगी।
यदि kA = kB हो तो अर्थात्
ωA = ωB
(ωA2 – ω2) = + ωC2
ω2 = (ωA2 + ωC2)
KA + KC/m + kc/m
ω = √ka/m ω = √ka + 2kc/m