सामान्य आवृत्तियाँ ज्ञात करने की व्यापक विश्लेषिक विधि। (General Analytical Method to Determine Normal Frequencies in hindi)

सामान्य आवृत्तियाँ ज्ञात करने की व्यापक विश्लेषिक विधि। (General Analytical Method to Determine Normal Frequencies)

पिछले खण्ड में हमने देखा कि जब कोई युग्मित निकाय किसी एक सामान्य विधा में गति करता है तो निकाय का प्रत्येक अवयव उस सामान्य विधा की आवृत्ति से ही कम्पन करता है। इस तत्थ का उपयोग  कर हम युग्मित निकाय की सामान्य विधाओं की विभिन्न आवृत्तियों तथा व्यष्टि दोलकों (individual oscillators) के आपेक्षिक आयाम ज्ञात कर सकते हैं।

सरलता के लिए मान लीजिये कि दो समान दोलकों का एक युग्मित निकाय उसकी सामान्य विधा की आवृत्ति ω से दोलन कर रहा है, चित्र (3.2-3) इस अवस्था में व्यष्टि दोलकों के गति समीकरण निम्न होंगे

m d² x₁/dt² + mg (x₁/l) + k (x₁ – x₂) = 0 ………………………..(1)

m d²x₂/dt² + mg (x₂/l) –k (x₁ – x₂) = 0 …………………………………(2)

दोनों दोलकों की गति सरल आवर्ती होगी तथा सामान्य विधा में प्रत्येक की आवृत्ति ω होने से उपरोक्त समीकरणों के हल मान लीजिये निम्न है :

X₁  = A cos ωt …………………………(3)

X₂ = B cos ωt  …………………………………(4)

X₁ व x₂  के मान गति समीकरणों (1) तथा (2) में रखने पर,

[-mω²A + (mg/l)A + K(A – B)] cos ωt = 0

[mA (-ω² + g/l) +k (A – B)] = 0                                                     [ cos ωt # 0]………………(5)

या [mal-0 + ) + k(A – B) =0

[-mω² B+( mg/l)B – k(A – B) cos ωt = 0

या [mB (-ω² + g/l)-k(A – B) =0                                                   [cos ωt #  0]………………….(6)

इन समीकरणों के योग से

m (A+ B) (-ω² + g/l) = 0 ……………………………(7)

उपरोक्त सम्बंध की यथार्थता के लिए

ω² = g/l  या ω = √g/l ………………………………….(8)

जो कि प्रथम सामान्य विधा की आवृत्ति होगी।

समीकरण (5) व (6) का अन्तर लेने पर

(A – B) (-ω² + g/l + 2k/m) = 0……………………………………..(9)

समीकरण (9) के अनुसार

ω² = g/l + 2k/m = ω²₀ + 2ω_c²

ω = √ω₀² + 2 ω₀² …………………………………..(10)

यह दूसरी सामान्य विधा की आवृत्ति होगी।

प्रथम विधा में ω²-= g/l यह मान समीकरण (5) या (6) में रखने पर (A – B) = 0 जिससे A = Bदोनों दोलक समान आयाम से समान कला में दोलन करेंगे।

दूसरी विधा की आवृत्ति ω =√ g/l + 2k/m  मान समीकरण (5) या (6) में प्रयुक्त करें तो (A + B) = 0 जिससे A =- B जिसके फलस्वरूप दोलक विपरीत कला में समान आयाम से दोलित होगे |

उपरोक्त विधि का उपयोग कर समान लम्बाई l  परन्त भिन्न द्रव्यमान m₁  तथा m₂  के युग्मित दोलको के लिये भी दो सामान्य विधाये प्राप्त होगी, जिनके लिए आवत्तियाँ निम्न होंगी

ω₁  = √g/l = ω₀

ω₂  =[ g/l + k (1/m₁  + 1/m₂ )]^1/2 …………………………………………..(11)

= [ω₀ ²  + 2 ω_c ² ]^1/2

जहाँ    ω_c  = [k/2 (1/m₁ + 1/m₂)]^1/2

इसके अतिरिक्त प्रथम विधा के लिये जब ω = ω₁

समीकरण (5) व (6) का अन्तर लेने पर,

• B) (-ω² + g/l + k/m₁ + k/m₂) = 0

या (A-B) (-ω₁² + ω₂²) = 0

A – B = 0                                             ω₁ = ω₂

X₁/X₂ = A/B = 1

द्वितीय विधा के लिए जब ω = ω₂

समीकरण (5) व (6) का योग लेने पर,

(m₁ A + m₂B) (-ω² + g/l) = 0

या (m₁ A + m₂B) (-ω₂² + ω₁²) =0

M₁A + m₂B = 0

X₁/x₂ = A/B = – m₂/m₁                              ω₁ # ω₂

समान द्रव्यमान के दोलकों के लिये

इस प्रकार प्रथम विधा में (A = B = a)

X₁ = a cos ω₁t,                 x₂ = a cos ω₁t

द्वितीय विधा में (A=-B = a)

x = a cos ω₂t,         x₂ =- a cos ω₂t

अध्यारोपण से व्यापक हल निम्न होंगे :

X₁ = a cos ω₁ t + a cos ω₂t …………………………….(12)

X₂ = a cos ω₁ t – a cos ω₂t …………………………………..(13)

उपरोक्त  समीकरणों में प्रारम्भिक कला नियतांक सरलता के लिये शून्य लिये गये हैं।