विस्फोट में एक चट्टान तीन टुकड़ों में विभाजित होती है। जिसके दो टुकड़े एक दसरे के लम्बवत गतिमान होते है।

उदाहरण 13 : विस्फोट में एक चट्टान तीन टुकड़ों में विभाजित होती है। जिसके दो टुकड़े एक दसरे के लम्बवत गतिमान होते है। यदि 1 किलोग्राम के टुकड़े का वेग 12 मी./से..2 किलोग्राम के टकडे का वेग 8 मी./से. तथा तीसरे टुकड़े का वेग 40 मी./से. हो तो तीसरे टुकड़े का द्रव्यमान ज्ञात करो।

हल : प्रश्नानुसार, m₁ = 1 किलोग्राम, V₁ = 12 मी./से।

M₂= 2 किलोग्राम, V₂ = 8 मी./से.

M₃ = ?.   v₃ = 40 मी./से.

माना m₁ तथा m₂ द्रव्यमान के टुकड़े एक दूसरे के लम्बवत् क्रमशः X तथा Y दिशा में गतिमान। हैं तथा उनके संवेग क्रमशः P₁ तथा p₂ हैं। माना तीसरे कण का संवेगp₃ है। चूंकि चट्टान विस्फोट से पहले विरामावस्था में होती है इसलिये विस्फोट के बाद भी उसका कुल संवेग शून्य होगा अर्थात्:

P₁ + p₂ + p₃ = 0

 

P₁ + P₂ =-P₃

या     |p₁ + p₂| = |-p

अर्थात्   (p₁² + p₂²)^1/2  = p₃

लेकिन   p₁ = m₁v₁ = (1) (12)

= 12  कि. ग्राम-मी./से.

P₂ = m₂ v₂ = (2)(8)

= 12 कि.ग्राम-मी./से.

P₃ = m₃ v₃ = (m₃) (40) = 40m₃ कि.ग्राम-मी./से.

P₁P₂ तथा p₃ का मान समीकरण (1) में रखने पर

{(12)² + (16)² }^1/2 = 40m₃

40m₃ =(144+256)^1/2

= (400)¹²

= 20

M₃ =20/40 = 0.5 किलोग्राम

उदाहरण 14: यदि द्रव्यमान केन्द्र के सापेक्ष किसी कण के स्थिति सदिश तथा वेग क्रमशः  r₁ तथा v₁ हों तो सिद्ध कीजिये कि :

• कण तन्त्र के लिये Σm₁ r₁ = 0 तथा
• कण तन्त्र का रेखीय संवेग द्रव्यमान केन्द्र के सापेक्ष शून्य होता है, अर्थात

P = Σm₁ v₁  = 0

माना किसी कण तन्त्र में कणों के द्रव्यमान m_1,m_2,m₃……उनके स्थिति सदिश क्रमशः तथा उनके वेग क्रमशः r₁,r₂,r₃ …….तथा उनके वेग क्रमशः v₁,v₂,v₃  ……………. है।

द्रव्यमान केन्द्र के परिभाषा के अनुसार

M r_cm = m₁ r₁ + m₂ r₂ + m₃ r₃ …… …..(1)

यहा M = m₁ +m₂ + m₃ + ……. कण तन्त्र का कुल द्रव्यमान है।

द्रव्यमान केन्द्र पर r_cm r₁, r₂,r₃ ……………….. का गैलीलियन रूपान्तरण करने पर समीकरण (1) के अनुसार,

M (r_cm – r_cm) = m₁ (r₁ – r_cm) + m₂ (r₂ – r_cm) + m₃ (r₃ – r_cm)+  …..(2)

माना द्रव्यमान केन्द्र के सापेक्ष कण तन्त्र के विभिन्न कणों के स्थिति सदिश क्रमशः r₁,r₂,r₃…….. इत्यादि हैं तो

R₁ = r₁ – r_cm

R₂ = r₂ – r_cm

R₃ = r₃ – r_cm ……………………(3)

…………….

समीकरण (3) के उपयोग से समीकरण (2) होगा

0 =m₁ r₁ + m₂ r₂ + m₃ r₃+……

या   Σm_i  r₁ = 0 ………………….(4)

समीकरण (1) का समय के सापेक्ष अवकलन करने पर

M d r_cm/dt = m₁ d r₁/dt + m₂ d r₂/dt + m₃ d r₃/dt ………….

या   m v_cm = m₁ v₁ + m₂ v₂ + m₃ v₃ + ……………………..(5)

द्रव्यमान केन्द्र के सापेक्ष v_m.v₁.v₂.v₃  इत्यादि का गैलीलियन रूपान्तरण करने पर समीकरण (5) के अनुसार

M(v_cm –v_cm) = m₁ (v₁ – v_cm) + m₂ (v₂ – v_cm) + m₃ (v₃ – v_cm) ………..(6)

माना द्रव्यमान केन्द्र के सापेक्ष कण तन्त्र के विभिन्न कणों के सापक्ष वेग क्रमशःv₁,v₂,v₃….  इत्यादि हैं तो

V₁ = v₁ – v_cm

V₂ = v₂ – v_cm

V₃ = v₃ – v_cm ……………(7)

अतः समीकरण (7) के उपयोग से समीकरण (6) होगा

0 = m₁ v₁ + m₂ v₂ + m₂ v₃+ …………………

Σ m_i v_i = 0

P = 0  ………………….(8)

अर्थात द्रव्यमान केन्द्र के सापेक्ष कण तन्त्र का रेखीय संवेग शून्य होता है।

उदाहरण 15 : द्रव्यमान 190 amu का एक स्थिर नाभिक एक a कण (दव्यमान 4 amu), उत्सर्जित करता है जिसका प्रयोगशाला तन्त्र में वेग (4i – 10j) x 10⁶ मी./से.है। अवशिष्ट  नाभिक का प्रक्षिप्त (recoil) वेग ज्ञात कीजिये।

हल : प्रश्नानुसार,

अवशिष्ट नाभिक का द्रव्यमान m_n = 186 amu

a कण का द्रव्यमान m_a = 4 amu

V_a = (4i -10j) x 10⁶ मी./से.

चूंकि नाभिक का विघटन बाह्य बलों की अनुपस्थिति में होता है इसलिये उसके कुल संवेग (a कण +अवशिष्ट नाभिक) शून्य होगा

प्रारम्भिक कुल संवेग = अन्तिम कुल संवेग

0 = m_nv_n +m_av_a

0 = 186 v_n, +4(4i -10j) x 10⁶

अतः अवशिष्ट नाभिक का अन्तिम वेग

V_n = – 4/186 (4i -10j) x 10⁶ मी./से.

उदाहरण 16 : एक बालू से भरे थैले का द्रव्यमान 10 किलोग्राम है तथा उसे 3 मीटर लम्बी भारहीन डोरी से लटकाया गया है। एक बन्दूक की गोली जिसका द्रव्यमान 200 ग्राम तथा वेग 20 मी./से. है, बालू के थैले में दागी जाती है जो उसमें धंस कर रूक जाती है तो गणना कीजिये

• थैले द्वारा प्राप्त वेग (ii) थैले का अधिकतम विस्थापन (iii) टक्कर में ऊष्मा के रूप में परिवर्तित ऊर्जा।

हलः- प्रश्नानुसार,

थैले का द्रव्यमान m₁ = 10 किलोग्राम

गोली का द्रव्यमान m₂ = 200 ग्राम = 0.2 किलोग्राम

गोली का प्रारम्भिक वेग =v₂  = 20 मी./से.

(i) निकाय (थैला + गोली) का प्रारक्भिक संवेग

=m₁v₁ +m₂ v₂

= 10 x 0 + 0.2 x 20

=4.0 किलोग्राम-मी./से.

यदि गोली दागने के बाद थैले का वेग v हो तो

निकाय का अन्तिम संवेग = (m₁ +m₂)v

= (10+0.2).V

= 10.2 v किग्रा. मी./से.

संवेग संरक्षण के नियम से

प्रारम्भिक संवेग = अन्तिम संवेग

4 =10.2v

V = 4/10.2 = 40/102 = 20/51 मी./से. ………………………..(1)

• यदि गोली दागने के बाद थैला h मीटर ऊँचाई तक विस्थापित होता है तो उसकी स्थितिज ऊर्जा का मान गतिज ऊर्जा के बराबर होगा।

अतः  (m₁ + m₂) gh = ½ (m₁ + m₂) v²

H = v² /2g ……………………….(2)

चित्र के अनुसार अधिकतम विस्थापन x है तो ज्यामिति से

h(2l – h) = x ^x x

h(2l – h) = x²

x = √h(2l – h)

= √2hl       क्योंकि 21 > h

= √2(v²/2g)t

= √(v²/g)l = √(20/51)² 3/9.8

= 0.217 मीटर

(ii) टक्कर से ऊष्मा में परिवर्तित ऊर्जा = गतिज ऊर्जा में परिवर्तन

= K.E.प्रारम्भिक – K.E.अन्तिम

= 1/2 (m₁ u₂ + m₁ u₂²)-1/2 (m₁ + m₂)v²

= ½ {10 x 0 + 0.2 x (20)²} – ½ {10.2 x (20/51)²}

= 39.21 जूल