एक लटू ऊर्ध्वाधर से 20° का कोण बनाते हुये 20 चक्कर प्रति सेकण्ड की दर से चक्रण कर रहा है।

उदाहरण 16 : एक लटू ऊर्ध्वाधर से 20° का कोण बनाते हुये 20 चक्कर प्रति सेकण्ड की दर से चक्रण कर रहा है। इसका द्रव्यमान 0.7 किग्रा. है तथा इसका जड़त्व आघूर्ण 5.0×10⁴ किग्रा.-मी². है। मूल बिन्दु से द्रव्यमान केन्द्र की दूरी 5.0 सेमी. है। ऊपर से देखने पर चक्रण दक्षिणावती दिखाई देते हैं। पुरस्सरण का कोणीय वेग व दिशा ज्ञात कीजिये।

हल : पुरस्सरण का कोणीय वेग

यहाँ    ω_p = mgr/j = mgr/Iω

M = 0.7 किग्रा

G = 9.8 मी./से².

r= 0.05 मी.

I =  5.0 x 10^-4 किग्रा-मी.²

ω= 2π x 20 = 40π रेडियन/सेकण्ड

पुरस्सरण का कोणीय वेग

ω_p =   0.7 x 9.8 x 0.05/ 5.0 x 10^-4 x 40 x 3.14

= 5.46  रेडियन/सेकण्ड

पुरस्सरण की दिशा भी दक्षिणावर्ती होगी।

उदाहरण 13: यदि उदाहरण (12) के निकाय की छड़ X-अक्ष के सापेक्ष ω कोणीय वेग से घूर्णन कर रही है तो निकाय के कोणीय संवेग के घटक ज्ञात करो। क्या कोणीय संवेग J और कोणीय वेग सदिश ω समान्तर हैं ?

हलः घूर्णन करते हुए पिण्ड के कोणीय , संवेग Jऔर कोणीय वेग ω के घटकों में सामान्य रूप से निम्न सम्बन्ध होते हैं

J_X = I_XX ω_x + I_XY ω_y + I_XZ ω_Z

J_Y = I_YX ω_x + I_yy ω_y + I_YZ ω_Z

J_Z = I_ZX ω_x + I_zy ω_y + I_ZZ ω_Z,

प्रश्नानुसार

ω = ω X, अतः ω_x = ω, ω_y, = ω_z = 0.

अतः कोणीय संवेग के घटक

J_X = J_XX ω

J_Y = I_YX ω व J_Z = 0    (: यहाँ सममिति से I_ZX =- Σ m_iz_ix_i = 0)

अर्थात् जब छड XY तल में स्थित होती है, तब कोणीय संवेग सदिश भी XY तल में ही स्थित होगा।। इसका कोणीय वेग ω से झुकाव ज्ञात करने के लिए।

J_Y /J_X = I_YX/I_XX = I_XY/I_XX = tan ϕ

यहाँ ϕ  J व ω के मध्य कोण है।

I_XY = – 2.598 x 10⁴ ग्राम-सेमी.² तथा

I_XX = 4.5 x 10⁴ ग्राम-सेमी.²

Tan ϕ = 2.598 x 10⁴/4.5 x 10⁴

= – 0.577

ϕ = tan^-1 ‘(-0.577)= 30°

अतः J, ω के समान्तर नहीं है तथा यह छड़ के लम्बवत् X-अक्ष से -30° के कोण पर है।

उदाहरण 14 : 100g तथा 150g के दो कण 50cm लम्बी छड़ के सिरों पर स्थित हैं। कार्तीय निर्देशांक पद्धति का मूल बिन्दु इस निकाय के द्रव्यमान केन्द्र पर है। छड़ X-Y तल में स्थित है तथा x-अक्ष से 60° कोण बनाती है।

() निकाय के जड़त्वीय गुणांकों की गणना कीजिये।

(i) यदि छड़ X-अक्ष के परितः 20 rad/s के कोणीय वेग से घूर्णन करे तो निकाय के कोणीय संवेग का परिमाण व दिशा ज्ञात कीजिये।

हलः 100g के कण से द्रव्यमान केन्द्र की दूरी

R₁ = 100 x 0 + 150 x 50 / 100 +150 = 30 cm

अतः द्रव्यमान केन्द्र के सापेक्ष 100g के कण के निर्देशांक होंगे

X₁ =30 cos 60° = 15 cm

Y₁ = 30 sin 60° = 26 cm

Z₁ = 0

इसी प्रकार 150g के कण के निर्देशांक होंगे

X₂ =- 20 cos 60° =-10 cm                      (r₂ = 50 – 30 = 20 cm)

Y₂ =- 20 sin 60° =-17.32 cm

Z₂ =0

जड़त्वीय गुणांक

|_XX = Σ m_I(r²_i  – x²_i)

= 100(30² – 15²) + 150(20² –10²)

= 100(900 – 225)+ 150(400-100)

=67500 + 45000 = 11.25 x 10⁴ +g-cm

I_XY = I_YX = – Σm_i x_i y_i

=-100 x 15 x 26 – 150 x 10 x 17.32

=- 39000 – 25980 =- 06.50 x 10⁴ g-cm²

I_YY = Σm_i (r_i² – y²_i)

= 100(900 – 676) + 150(400 – 300)

= 22400 + 15000 = 3.74 x 10⁴ g-cm²

I_zz = Σ m_i (r_i² + z²_i)

[1] = -6.50 370

= 100 x 900 + 150 x 400

= 15.0 x 10⁴ g-cm²

I_xz = I_zx = I_yz = I_zy = 0

|11.25    -6.60   0|

[1]   =   |-6.50      3.74     0| x 10⁴ g-cm²

|0              0    15.0|

(ii) जब छड़ X-अक्ष के परितः 20 rad/s की चाल से घूर्णित है तब ω = 20 x.

J_x =   I_xx ω_x + I_xy ω_y + I_xz ω_z

= 11.25 x 10⁴ x 20

=22.5 x 10⁵  erg-sec.

J_y = I_yx, ω_x, + I_yy ω_y , + I_yz ω_z

= – 6.5 x 10⁴ x 20

=-13.0 x 10⁵ erg-sec

J_Z = I_ZX ω_x + I_ZY ω_y + I_ZZ ω_Z

= 0

कोणीय संवेग का परिमाण J = (J²_X  + J²_Y)^1/2

= [22.5² + (-13.0)²]^1/2 x 10⁵

= (506.25 +169.0)^1/2 x 10⁵

= 26.0 x 10⁵ erg-s

यदि कोणीय संवेग की दिशा X-अक्ष से ϕ कोण पर है तो

tan ϕ = J_Y/J_X = – 13.0/22.5 = – 0.58

ϕ = – tan^-1 (0.578)

= – 30⁰

उदाहरण 15: एक निकाय में तीन समान द्रव्यमान m क्रमशः बिन्दु (a, 0,0); (0, a ,0) तथा (0.0, a) पर स्थित हैं। इस निकाय के सभी जड़त्वीय गुणांक ज्ञात कीजिये।।

हल : चित्र में तीन द्रव्यमान दिये हुए बिन्दुओं पर दिखाये गए हैं। जड़त्वीय गुणांकों के मान निम्न

I_xx = Σ m_i (r_i² – x²_i)

= Σ m_i (Y_i² + Z²_i)

= m (0 + 0 ) +m(a² + 0) + m(0 + a²)

= 2ma²

I_yy = Σ m_i (r²_i – y_i²) = Σ m_i (x²_i  + z²_i)

= m (a² +0)+ m(0 +0)+ m(0 + a²)

= 2ma²

I_ZZ = Σm_i (r_i² – z²_i) = Σm_i (x_i² + y²_i)

= m (a² + 0) + m(0 + a²) +m(0 + 0)

= 2ma²

I_XY = I_YX = – Σm_i x_i y_i

= – m x a x 0 – m x 0 x a – m x 0 x 0 = 0

= 0

I_XZ = I_ZX = – Σm_i x_i z_i

=- m x 0 x 0 – m x a x 0 – m x 0 x a

= 0

I_yz = I_ZY = – Σm_i y_i z_i

= – m x 0 x 0 – m x a x 0 – m x 0 x a

= 0

सभी जड़त्वीय गुणांकों को मैट्रिक्स के रूप में रखने पर

[2ma²   0     0]

[I]  =  [0      2ma²   0]

[0      0   2ma²]