सम्बन्ध तथा तुल्यता सम्बन्ध पर कुछ अन्य प्रश्न relation and function class 12 previous year questions pdf in hindi

relation and function class 12 previous year questions pdf in hindi सम्बन्ध तथा तुल्यता सम्बन्ध पर कुछ अन्य प्रश्न ?

सम्बन्ध तथा तुल्यता सम्बन्ध पर कुछ अन्य प्रश्न

प्रश्न 1. प्राकृत संख्याओं के समुच्चय पर परिभाषित सम्बन्ध निम्न हैं। प्रत्येक को उनके नियम विधि (Ruled Method) द्वारा लिखिए :

R1 = {(1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16),………

R2 = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6), …..).

हल: सम्बन्ध

R1 = {(1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16),…..} को नियम विधि (Ruled Method) द्वारा निम्न प्रकार व्यक्त किया जा सकता है :

R1 = {(x, y) : y = x±, x, ye N}

सम्बन्ध R2 = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6),….. को नियम विधि (Ruled Method) द्वारा निम्न प्रकार से लिखा जा सकता है :

R2 = {(x, y) : y = x + 2; x, y ∈ N}.

प्रश्न 2. यदि A = {1, 2, 3, 4}, तो A पर निम्न सम्बन्धों को परिभाषित कीजिए :

(i) स्वतुल्य, संक्रमक परन्तु सममित नहीं;

(ii) सममित परन्तु स्वतुल्य और संक्रमक नहीं;

(iii) स्वतुल्य, सममित तथा संक्रमक ।

हल : (i) A = {1, 2, 3, 4} पर सम्बन्ध R यदि निम्न प्रकार परिभाषित हो, तो यह स्वतुल्य, संक्रमक होगा परन्तु सममित नहीं ।

R= {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (2, 3), (1, 3)}

स्पष्टत: R स्वतुल्य है, क्योंकि

R = {(a, b) : a = b; a, b ∈ A}

(1,1) ∈ R, (2, 2) ∈ R, (3, 3) ∈ R, (4, 4) ∈ R R संक्रमक है, क्योंकि

(1, 1) ∈ R; (1, 2) ∈ R⇒ (1, 2) ∈ R, जो कि सत्य है।

इसी प्रकार (2, 2) ∈R, (2, 3) ∈R ⇒ (2, 3) ∈ R, जो कि सत्य है।

तथा (1, 1) ∈ R, (1, 3) ∈ R ⇒ (1, 3) ∈ R, जो कि सत्य है।

R सममित नहीं है, क्योंकि

(1, 2) ∈ R ⇔ (2, 1) ∈ R

अर्थात् 1R2 = 2R1

प्रश्न 3. क्या यह सत्य है कि जो सम्बन्ध सममित है, संक्रमक है वह स्वतुल्य है। कारण बताइए।

हल: यह आवश्यक नहीं है कि जो सम्बन्ध सममित है। संक्रमक है, वह स्वतुल्य है, क्योंकि

यदि S वास्तविक संख्याओं का समुच्चय हो जहाँ x,y, z e S और xRy if xy ≠ 0; तब

xy ≠ 0yx ≠ 0 (गुणन के क्रम-विनिमेय नियम से)

अर्थात् xRy ⇒ yRc

या (xy ) ∈R = (y, x) ER

अत: R सममित है।

(ii) पुन: xy ≠ 0yz = 0 = xz = 0

अर्थात् xRy, yRz ⇒ xR5

या (x, y) ∈ R, (y, z) ∈ R⇒ (x, z) ∈ R

अत: R संक्रमक है।

xy ≠ 0, yz ≠ 0 ⇒ zx ≠ 0

Xz 0 = zx = 0

(गुणन के क्रम-विनिमेय नियम से )

⇒ xx ≠ 0

परन्तु यह सत्य नहीं है, क्योंकि

0 ∈ S, 0.0 = 0

अर्थात् (0, 0) R या ORO सत्य है।

प्रश्न 4. यदि a, b, जहाँ I र्णांकों का समुच्चय है तथा I पर सम्बन्ध R इस प्रकार परिभाषित है कि R = {(a, b): a तथा b विषम संख्याएँ हैं।} दिखाइए कि यह सम्बन्ध R सममित है, संक्रमक है परन्तु स्वतुल्य नहीं है।

हल सम्बन्ध R की परिभाषा के अनुसार,

(a, b) ER a तथा b विषम संख्याएँ हैं।

= b तथा विषम संख्याएँ हैं।

⇒ (b, a) ∈R

aRb ⇒ bRa, सत्य है ।

अतः दिया सम्बन्ध सममित है।

पुन: यदि (a, b) ER (b, c) ER, तब

(a, b) ER, (b, c ) E R⇒a तथा b विषम संख्याएँ हैं

B और c तथा विषम संख्याएँ हैं

b तथा a विषम संख्याएँ हैं

(a, c) e R

aRb, bRc ⇒ aRe

अतः दिया हुआ सम्बन्ध संक्रामक है।

सम्बन्ध R की परिभाषानुसार (a, b) ER का तात्पर्य a तथा a विषम संख्याएँ हैं, परन्तु a e I, तब a सम भी हो सकती है, अर्थात् यदि a = 4, तो (4, 4) e R 4R4 क्योंकि 4 तथा 4 विषम संख्याएँ नहीं हैं।

इसी प्रकार 6R6, 2R2 आदि ।

अतः दिया सम्बन्ध स्वतुल्य नहीं है।

प्रश्न 5. पूर्णांकों के समुच्चय / पर कोई सम्बन्ध R इस प्रकार परिभाषित है कि xRy, = x – y , = 7 से विभाजित है, जहाँ x, ye I , तो सिद्ध कीजिए कि R एक तुल्यता सम्बन्ध है।

हल: प्रश्नानुसार, सम्बन्ध R के अवयवों में वे ही पूर्णांक सम्बन्धित होंगे जिनका अन्तर 7 से विभाजित होगा ।

(i) R स्वतुल्य है, क्योंकि a∈1⇒ a – a = 0, जो 7 से विभाज्य है अर्थात् (a, a) ∈ R, सत्य है ।

या aRa सत्य है।

(ii) R सममित है, क्योंकि a, b ∈ I तथा यदि a – b, 7 से विभाज्य है, तब (a – b) भी 7 से विभाज्य होगा ।

या b – a, भी 7 से विभाज्य होगा ।

अर्थात् aRb = bRa

या (a, b) ∈R ⇒ (b, a) ∈ R.

(iii) सम्बन्ध R संक्रमक है, क्योंकि यदि a, b, c e l, तथा (a, — b), 7 से विभाज्य है तथा (b – c), 7 से विभाज्य है, तब a – b + b – c भी 7 से विभाज्य होगा ।

[: 7 से विभाजित होने वाली दो संख्याओं का योग भी 7 से विभाज्य होगा ]

या a – c, 7 से विभाज्य है या aRc सत्य है ।

अर्थात् aRb, bRc ⇒ aRc

या (a, b) ∈R, (b, c) ER (a, c) ER

हम देखते हैं कि सम्बन्ध R, स्वतुल्य, सममित तथा संक्रमक है, अतः यह तुल्यता सम्बन्ध है ।

प्रश्न 6. सिद्ध कीजिए कि धन पूर्णांकों के समुच्चय में सम्बन्ध ‘एक गुणनखण्ड है’ स्वतुल्य एवं संक्रमक परन्तु सममित नहीं है।

हल : माना धन पूर्णांकों का समुच्चय / है तथा I पर दिया सम्बन्ध R इस प्रकार परिभाषित हैं कि

R = {(a, b) : a, b को विभाजित करता है

जहाँ a, b, ∈ l}

(i) दिया सम्बन्ध स्वतुल्य है, क्योंकि प्रत्येक धनात्मक संख्या स्वयं को विभाजित करती है, अर्थात् यदि a∈ I, तब a, a को विभाजित करेगा ।

अतः aRa सत्य है ।

या (a, a) ∈ R, सत्य है ।

जैसे : 2R2, 4R4, 3R3, इत्यादि ।

(ii) दिया हुआ सम्बन्ध संक्रमक है क्योंकि a, b, c ∈ I के लिए यदि (a, b) ER, (b, c) R तब (a, c) ER होगा, क्योंकि यदि संख्या a, संख्या b को विभाजित करती है तथा संख्या संख्या को विभाजित करती है तब संख्या a संख्या c को विभाजित करेगी अर्थात्

(a, b) ER, (b. c) ∈R (a, c) ER

aRb, bRc = aRc.

जैसा कि संख्या 2 संख्या 4 को विभाजित करती है। तथा संख्या 4 संख्या 8 को विभाजित करती है, तब संख्या 2, संख्या 8 को विभाजित करेगी अर्थात्

2R4, 4R8 ⇒ 2R8.

(iii) सम्बन्ध R सममित नहीं है, क्योंकि यदि a be l

तथा R = {(a, b): संख्या a, संख्या b को विभाजित करती है}

तब (a, b) e R = (b, a) e R,

aRb = bRa

अर्थात् संख्या a,संख्या b को विभाजित करती है, b परन्तु संख्या b संख्या को विभाजित नहीं करती है। अतः

bRa सत्य नहीं है।

जैसे कि 3R6, सत्य है।

क्योंकि संख्या 3. संख्या 6 को विभाजित करती है, परन्तु संख्या 6, संख्या 3 को विभाजित नहीं करती है, अर्थात्

6 R 3. अतः दिया सम्बन्ध सममित नहीं है।

इस प्रकार दिया सम्बन्ध स्वतुल्य, संक्रमक है परन्तु सममित नहीं है।

प्रश्न 7. यदि सम्बन्ध R वास्तविक संख्याओं के समुच्चय S पर इस प्रकार परिभाषित है कि R = ( ( a, b ) : u < b} तो सिद्ध कीजिए कि R संक्रमक है, परन्तु स्वतुल्य तथा सममित नहीं है।

हल दिया सम्बन्ध

R = {(a, b): a < b}, जहाँ a, b e S. सत्य नहीं है।

A < a सत्य नहीं है।

aRa सत्य नहीं है।

(a, a) e R

क्योंकि कोई भी संख्या स्वयं से छोटी नहीं हो सकती है।

(i) अत: R स्वतुल्य नहीं है ।

पुनः aRb = a < b अर्थात् संख्या a संख्या b से छोटी है, परन्तु संख्या b. संख्या a से छोटी नहीं हो सकती है

अर्थात् aRb = bRa

(a, b) e R 2 = (b, a) e R

2R5 ⇒ 2 < 5, परन्तु

अर्थात् 5 × 2

2R5 = 5R2

(ii) अतः सम्बन्ध R सममित नहीं है।

यदि (a, b) ∈R, (b, c) ER अर्थात्

A < b तथा b < c

यदि संख्या a, संख्या b से छोटी है तथा संख्या b संख्या c से छोटी है तब संख्या a. संख्या c से छोटा होगी।

अंतः (a, b) e R. (b. c) eR = (a.c) ER

aRb. bRc = aRc

(iii) अतः दिया हुआ सम्बन्ध संक्रमक है। हम कह सकते हैं कि दिया हुआ सम्बन्ध संक्रमक परन्तु स्वतुल्य व सममित नहीं है।

प्रश्न 8. यदि सम्बन्ध R वास्तविक संख्याओं समुच्चय S पर इस प्रकार परिभाषित है कि : तो सिद्ध कीजिए कि दिया सम्बन्ध R सममित है परन्तु R = {(a, b) : a2 + b2 = 1}, जहाँ a b e s

स्वतुल्य तथा संक्रमक नहीं है।

हल: (i) दिया हुआ सम्बन्ध सममित है, क्योंकि

(ii) दिया हुआ सम्बन्ध स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि

(a, a) e R a2+ a2 = 1

⇒ 2a2 = 1

जो कि सत्य नहीं है। क्योंकि यदि a ∈ S, तो 2a2 < 1 या 2a2>1

(iii) R संक्रमक नहीं है, क्योंकि यदि (a, b) E R, (b,c) e R तो कोई आवश्यक नहीं है कि (a, c) e R अर्थात्

(a, b) e R, (b, c) e R = (a, c) e R

aRb, bRc = aRc

अतः दिया हुआ सम्बन्ध सममित है परन्तु न तो स्वतुल्य है और न संक्रमक ही है।

प्रश्न 9. यदि समुच्चय 4 समतल में सभी वत्तों का समुच्चय हो तथा समुच्चय 4 पर सम्बन्ध R इस प्रकार परिभाषित है कि

R ((a, b): a तथा संकेन्द्रीय (Cocentric) है। तो सिद्ध कीजिए कि सम्बन्ध R, समुच्चय A पर एक तुल्यता सम्बन्ध है।

हल: A समतल में सभी वृत्तों का समुच्चय

या A = (x : x, समतल में एक वृत्त है}

तथा R= (a, b) a तथा 6 संकेन्द्रीय (Concentric) हैं)

जहाँ a , b e A

(i) R स्वतुल्य है, क्योंकि वृत्त a का केन्द्र, वृत्त का केन्द्र है अर्थात् (a, a) eR

या aRa सत्य है।

(ii) R सममित है, क्योंकि (a, b) ER, तो

(a, b) eR = a तथा b संकेन्द्रीय हैं।

= a तथा b संकेन्द्रीय हैं।

= (b, a) ∈R

aRb = bRa

जैसा कि निम्न चित्र में दर्शाया गया

जहाँ तथा b वृत्त हैं तथा उनका केन्द्र बिन्दु O है ( a तथा b संकेन्द्रीय हैं)।

(iii) R संक्रमक है, क्योंकि यदि (a, b) ∈ R तथा (b, c) e R

अर्थात् और b संकेन्द्रीय हैं तथा b और संकेन्द्रीय हैं a तब c तथा संकेन्द्रीय होंगे।

अत: (a, b) e R, (b, c) e R = (a, c) eR

या aRb, bRc = aRc

जैसा कि निम्न चित्र में दिखाया गया है :

[बिन्दु 0 वृत्तों a, b तथा c का केन्द्र है।]

हम देखते हैं कि सम्बन्ध R समुच्चय A पर स्वंतुल्य, सममित तथा संक्रमक है। अतः R तुल्यता सम्बन्ध है।

प्रश्न 10. यदि समुच्चय । समतल में सभी वृक्षों का समुच्चय हो तथा इस पर सम्बन्ध R इस प्रकार परिभाषित है कि :

R = ((a, b) : वृत्त a, वृत्त b को बाह्यतः स्पर्श करता है? सिद्ध कीजिए कि सम्बन्ध R सममित है परन्तु न तो स्वतुल्य है और न ही संक्रमक

हल: प्रश्नानुसार,

A = समतल में सभी वृत्तों का समुच्चय

या A = {x : x, समतल में एक वृत्त है}

तथा समुच्चय A पर सम्बन्ध

R = {(a, b) : वृत्त a, वृत्त b को बाह्यत: स्पर्श करता है}

जहाँ a, b EA.

(i) सम्बन्ध R स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि कोई वृत्त स्वयं को बाह्यतः स्पर्श नहीं करता है अर्थात् (a, a) ęR या aRa सत्य नहीं है, जहाँ a ∈ A.

(ii) सम्बन्ध R सममित है, क्योंकि यदि (a, b) ∈ R,

तब (a, b) ∈R वृत्त a वृत्त b को बाह्यतः स्पर्श करता है

→ वृत्त b, वृत्त a को बाह्यतः स्पर्श करता है

⇒ (b, a) ∈ R

अर्थात् (a, b) ∈R = (b, a) ∈R

aRb = bRa

जैसा कि निम्न चित्र में दिखाया गया है

वृत्त a, वृत्त b को बिन्दु P पर बाह्यतः स्पर्श करता है। इसी प्रकार वृत्त b, वृत्त a को बिन्दु P पर बाह्यतः स्पर्श करता है।

(iii) सम्बन्ध R संक्रमक नहीं है, क्योंकि यदि (a, b) ∈ R तथा (b, c) ER तब कोई आवश्यक नहीं है। कि (a, c) ER अर्थात् यदि वृत्त a वृत्त b को बाह्यत: स्पर्श करता है तथा वृत्त b वृत्त c को बाह्यतः स्पर्श करता है, तो कोई जरूरी नहीं है कि वृत्त a वृत्त c को बाह्यत: स्पर्श करे,

तब

(a, b) ∈R, (b, c ) ∈R = (a, c) ER

aRb, bRc + aRc.

जैसा कि निम्न चित्र में दिखाया गया है।

वृत्त b, वृत्त c को बाह्यत: स्पर्श करता है, परन्तु वृत्त a, वृत्त c को बाह्यतः स्पर्श नहीं करता है।

aRb, bRc = aRc

प्रश्न 11. यदि समुच्चय A समतल में सभी वृत्तों का समुच्चय हो तथा इस पर सम्बन्ध R इस प्रकार परिभाषित है कि :

R = {(a, b) : वृत्त a, वृत्त b को अन्तः स्पर्श करता है} तो सिद्ध कीजिए कि सम्बन्ध R न तो स्वतुल्य है, न सममित तथा न ही संक्रमक है।

हल: प्रश्नानुसार,

A = समतल में वृत्तों का समुच्चय

A = {x : x समतल में एक वृत्त है}

तथा _R = {(a, b) : वृत्त a वृत्त b को अन्तःस्पर्श करता है}

(i) सम्बन्ध R स्वतुल्य नहीं है क्योंकि कोई भी वृत्त स्वयं को स्पर्श (अन्तः स्पर्श) नहीं कर सकता।

अर्थात् (a, a) ER या aRa.

(ii) सम्बन्ध R सममित नहीं हैं, क्योंकि यदि वृत्त a वृत्त b को अंतः स्पर्श करता है तो वृत्त b, वृत्त a को अंतः स्पर्श नहीं कर सकता। अर्थात्

(a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈R

aRb = bRa

जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, वृत्त a, वृत्त b को अन्तः स्पर्श करता है।

(iii) सम्बन्ध R संक्रमक नहीं है, क्योंकि यदि वृत्त 4, वृत्त b को अंत: स्पर्श करता है तथा वृत्त b, वृत्त c को अन्तः स्पर्श करता है, तो कोई आवश्यक नहीं है कि वृत्त a वृत्त c को अन्तः स्पर्श करे अर्थात्

(a, b) e R, (b, c) e R = (a, c) e R

जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। वृत्त a वृत्त b को बिन्दु P पर अन्तः स्पर्श करता है तथा वृत्त b, वृत्त c को बिन्दु Q पर अन्तः स्पर्श करता है परन्तु वृत्त a वृत्त c को अन्तः स्पर्श नहीं करता है।

अतः दिया हुआ सम्बन्ध न तो स्वतुल्य है, न सममित तथा न ही संक्रमक |

प्रश्न 12. यदि समतल में सभी वृत्तों के समुच्चय A पर सम्बन्ध R इस प्रकार परिभाषित हो कि :

R = ( (a, b) : वृत्त की त्रिज्या वृत्त 6 की त्रिज्या के बराबर है, जहाँ a, b eA

तो सिद्ध कीजिए कि सम्बन्ध R समुच्चय A पर एक तुल्यता सम्बन्ध है।

हल: प्रश्नानुसार

A समतल में सभी वृत्तों का समुच्चय या

A = {x : x समतल में एक वृत्त है}

तथा R ( (a, b): वृत्त की त्रिज्या वृत्त 6 की त्रिज्या के बराबर है }, तब

(i) सम्बन्ध R स्वतुल्य है, क्योंकि वृत्त की त्रिज्या वृत्त की त्रिज्या के बराबर होगी अर्थात् (a, a) ER या aRa सत्य है।

(ii) सम्बन्ध R सममित है, क्योंकि यदि (a, b) ∈ R,

(a, b) ∈R = वृत्त a की त्रिज्या, वृत्त b की त्रिज्या के बराबर है

⇒ वृत्त 6 की त्रिज्या, वृत्त a की त्रिज्या के बराबर है।

⇒ (b, a) e R

(a, b) ER = (b, a) e R

या aRb = bRa.

(iii) सम्बन्ध R संक्रमक है, क्योंकि यदि (a, b) ER, (b, c) ∈ R, तब

(a, b) ER, (b, c) ER वृत्त की त्रिज्या, वृत्त b की त्रिज्या के बराबर है तथा वृत्त 6 की त्रिज्या, वृत्त की त्रिज्या के बराबर है।

⇒ वृत्त की त्रिज्या वृत्त b की त्रिज्या

= वृत्त c की त्रिज्या

⇒ वृत्त a की त्रिज्या = वृत्त c की त्रिज्या

= (a,c) ER

अर्थात् (a, b) ER, (b, c) ER = (a, c) ER

aRb, bRc ⇒ aRc

हम देखते हैं कि सम्बन्ध R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रमक है। अत: R तुल्यता सम्बन्ध है ।

प्रश्न 13. यदि A = { a, b, c, d तथा इस पर सम्बन्ध R इस प्रकार परिभाषित है कि

R = {(a, c), (b, d), (b, c), (c, a)} तो सिद्ध कीजिए कि सम्बन्ध R सममित नहीं है।

हल दिया हुआ सम्बन्ध सममित नहीं है, क्योंकि

b e A, c e A, (b, c) E R (c, b) ER

या b e A, c e A, (b. c) ER, परन्तु (c, b) eR

प्रश्न 14. यदि किसी परिवार के सदस्यों का समुच्चय हो और R से ‘की बहन है’ सम्बन्ध प्रकट होता हो अर्थात् aRb का तात्पर्य a, b की बहन है। सिद्ध कीजिए यह सममित नहीं है।

हल: दिया हुआ सम्बन्ध सममित नहीं है क्योंकि यदि a, b की बहिन है, तो b, a का भाई भी हो सकता है।

प्रश्न 15. यदि समुच्चय S वास्तविक संख्याओं का समुच्चय हो तथा इस पर सम्बन्ध R इस प्रकार परिभाषित है कि

R = {(a, b) : a तथा b अभाज्य संख्याएँ हैं। तो सिद्ध कीजिए कि सम्बन्ध R प्रतिसममित नहीं है। हल: प्रश्नानुसार,

S = वास्तविक संख्याओं का समुच्चय

या S = {x:x एक वास्तविक संख्या है}

तथा R = {(a, b) : a तथा b अभाज्य संख्याएँ हैं},

जहाँ a, b e S

सम्बन्ध R प्रतिसममित नहीं है क्योंकि यदि (a, b) ER

अर्थात् (a, b) ∈R a तथा b अभाज्य संख्याएँ हैं

⇒ b तथा a अभाज्य संख्याएँ हैं

⇒ (b, a) e R

अर्थात् (a, b) ∈R ⇒ (b, a) ∈ R

परन्तु प्रतिसममित सम्बन्ध की परिभाषा के अनुसार, (a, b) ∈ R तथा (b, a) ∈R

या aRb = bRa = a = b

या a = b होना चाहिए जो कि सत्य नहीं है, क्योंकि a तथा b अभाज्य संख्याएँ हैं जो कि कभी भी बराबर नहीं हो सकती हैं।

प्रश्न 16. यदि A = {a, b, c}, तो सिद्ध कीजिए कि A पर परिभाषित सम्बन्ध R तत्समक नहीं है, जहाँ

R = {(a, a), (c, c)}.

हल : सम्बन्ध R = {(a, a), (c, c) तत्समक नहीं है. क्योंकि, इसमें क्रमित युग्म (b, b) सम्मिलित नहीं है

अर्थात् (b, b) e R या bRb

प्रश्न 17. यदि A {1, 2, 3, 4} पर परिभाषित सम्बन्ध R1 तथा R2 इस प्रकार हैं कि

R1 ={(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}

तथा R2 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2) (3, 4), (1,3)}

तो दिखाइए कि R1 तत्समक सम्बन्ध है परन्तु R2 तत्समक नहीं है परन्तु स्वतुल्य है।

हल : दिए गए सम्बन्ध R1 तथा R2 निम्न प्रकार हैं :

R1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}

R2 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2) (3, 4), (1, 3)}

स्पष्टतः सम्बन्ध Ry तत्समक है क्योंकि प्रत्येक ae A के लिए aRa या (a.) ER सत्य है अर्थात

(1.1) ∈ R, (2, 2) ∈ R. (3, 3)

सम्बन्ध R2 तत्समक नहीं है, क्योंकि इसमें क्रमित युग्म (1, 2), (3, 4), (1, 3) भी सम्मिलित है, परन्तु सम्बन्ध R2 स्वतुल्य है, क्योंकि प्रत्येक a के लिए aRa या (a, a) ER सत्य है।

प्रश्न 18. यदि S = {1, 2, 3, a, b, √3, √5, c, d,

तो S के विभाग समुच्चय ज्ञात कीजिए ।

हल : यदि हम S को इस प्रकार विभाजित करें कि पूर्णांकों का एक समुच्चय हो, भिन्नों का एक समुच्चय हो, वर्णमाला के अक्षरों का एक समुच्चय हो, अपरिमेय संख्याओं का एक समुच्चय हो, तो

तो हम देखते हैं कि A1, A2, A3 तथा A4 का सम्मिलन (union) दिया हुआ समुच्चय S है तथा किन्हीं भी दो समुच्चयों में कोई भी अवयव उभयनिष्ठ नहीं हैं अर्थात्

अत: A1 तथा A2 में कोई भी अवयव उभयनिष्ठ नहीं है । इसी प्रकार अन्य किन्हीं भी दो समुच्चयों में कोई भी अवयव उभयनिष्ठ नहीं है, तब

समुच्चय S का विभाग समुच्चय है।

टिप्पणी : किसी समुच्चय का विभाजन अद्वितीय (Unique) नहीं होता है। विद्यार्थियों को निर्देशित किया जाता है कि वे कुछ अन्य विभाजन करके विभाग समुच्चय प्राप्त करें।

प्रश्न 19. यदि S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} तो दिखाइए

कि निम्न समुच्चय

A = [{1, 3, 5}, {2}, {4, 7}]

B = {{1, 5, 7}, {3, 4}, {2, 5, 6}}

S के विभाग समुच्चय हैं या नहीं।

हल: समुच्चय A, S का विभाग समुच्चय नहीं है,

क्योंकि

समुच्चय B भी समुच्चय 5 का विभाग समुच्चय नहीं है, क्योंकि

अर्थात् दो उपसमुच्चयों में अवयव S उभयनिष्ठ है। यद्यपि

प्रश्न 20. यदि A = {a, b, c}, तो दिखाइए कि वे सम्बन्ध जिनमें क्रमित युग्म (a, b), (b, c) सम्मिलित हैं तथा जो स्वतुल्य और संक्रमक हैं परन्तु सममित नहीं हैं की संख्या तीन होगी।

हल: प्रश्नानुसार, A = { a, b, c} तब समुच्चय 4 पर सबसे छोटा स्वतुल्य सम्बन्ध जिसमें क्रमित युग्म ( a. b) तथा (b, c) सम्मिलित हैं इस प्रकार परिभाषित होगा :

R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, c)}

अब (a, b)e R तथा (b, c) ER परन्तु (a, c) R

अतः R संक्रमक नहीं है। अब R को संक्रमक बनाने के लिए सम्बन्ध R में क्रमित युग्म (a, c) को सम्मिलित करना पड़ेगा। अतः क्रमित युग्म (a, c) को R में सम्मिलित करके तथा इस नये सम्बन्ध को R1 से प्रदर्शित करने पर

R1 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, c), (a, c)}

स्पष्टतः सम्बन्ध R1 स्वतुल्य तथा संक्रमक है परन्तु सममित नहीं, क्योंकि

(a, b) ER परन्तु (b, a) R

इसी प्रकार (b, c ) ∈ R परन्तु (c, b) R

पुनः यदि हम क्रमित युग्म (b, a) को R1 में सम्मिलित करें तथा इस प्रकार बना सम्बन्ध R2 हो, तो

R2 {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, c), (a, c), (b, a)}

हम देखते हैं कि सम्बन्ध R2 स्वतुल्य तथा संक्रमक है। परन्तु सममित नहीं है, क्योंकि

(a, c) ∈R ≠ (c, a) ∈ R

अब यदि हम क्रमित युग्मों (c. b) तथा (c. a) को क्रमशः सम्बन्ध R1 में सम्मिलित करें तब इस प्रकार प्राप्त सम्बन्ध निम्न होंगे :

R3 = {(a, a), (b, b), (c, c) (a, h), (b, c ). (a, c), (c, b) }

R4 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b. c). (a, c ), ( c. a)}

स्पष्टतः सम्बन्ध R3 तथा Rs स्वतुल्य तथा संक्रमक हैं, परन्तु सममित नहीं हैं, क्योंकि

तथा

( a, b ) ∈ R3 ⇒ (a, b) ∈ R3

(a, b) ∈ R4 = (b. a) e R4

पुनः हम देखते हैं कि यदि क्रमित युग्मों (h, a), (c, b) तथा (c, a) में किन्हीं दो क्रमित युग्मों को सम्बन्ध R में सम्मिलित करते हैं तो संक्रमकता सिद्ध करने के लिए हमें तीसरे क्रमित युग्म को सम्बन्ध R1 में वाध्य होकर सम्मिलित करना पड़ेगा। तब इस प्रकार प्राप्त सम्बन्ध स्वतुल्य, संक्रमक होने के साथ ही साथ सममित भी होगा जो कि प्रश्नानुसार आवश्यक नहीं है।

अतः उन सम्बन्धों की संख्या जो स्वतुल्य तथा संक्रमक हैं और सममित नहीं हैं तथा जिनमें क्रमित युग्म ( a, b ) तथा (b, c) सम्मिलित हैं, तीन है ।

प्रश्न 21. यदि A = {a, b, c} तथा इस पर सम्बन्ध R इस प्रकार परिभाषित है कि

R = {(b, c), (c, b)}

दिखाइए कि सम्बन्ध R सममित है परन्तु न तो स्वतुल्य और न ही संक्रमक |

हल: प्रश्नानुसार,

A = {a, b, c}

तथा R = {(b, c), (c, b)}

(i) सम्बन्ध R सममित है, क्योंकि

(b, c) e R = (c, b) e R

bRc = cRb

(ii) सम्बन्ध R स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि

(a, a) ∈ R या aRa सत्य नहीं है।

इसी प्रकार (b, b) ≠ R तथा (c, c) R

(iii) सम्बन्ध R संक्रमक नहीं है, क्योंकि

(b, c) ∈ R, = (c, b) ER = (b, b) ER

प्रश्न 22. यदि A = {1, 2, 3} पर सम्बन्ध R19 R2 तथा R3 इस प्रकार परिभाषित हैं कि

(i) R1 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}

(ii) R2 = {(1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1)} (iii) R3 = {(1, 2), (2, 3), (3, 1)}

तो R1 , R2 तथा R3 में प्रत्येक की स्वगुल्यता, सममितता तथा संक्रमकता की जाँच कीजिए।

हल: (i) हम देखते हैं कि

अतः R1 संक्रमक नहीं है ।

(ii) (a) R2 स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि

(1, 1), (2, 2), (3, 3) e R2

(b) R2 सममित है क्योंकि

(1, 2) ∈R ( 2, 1) ∈ R2

तथा (1, 3) ∈ R2 ⇒ (3, 1) ∈ R2

(1, 2) ∈ R2, (2, 1) ∈ R2 (1, 1) ∈ R2

(iii) (a) R3 स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि

(1, 1), (2, 2), (3, 3) R3

(b) R3 सममित नहीं है, क्योंकि

(1, 2) ∈ R3 ⇒ (2, 1) ∈ R3

(1, 2) ∈ R3, (2, 3) ∈ R3 परन्तु ( 1, 3) ≠ R3

या (1, 2) ∈ R3, (2, 3) ∈ R3 ⇒ (1, 3) ∈ R3

प्रश्न 23. यदि A = {1, 2, 3,….13, 14, 15, 16} तथा इस पर सम्बन्ध R इस प्रकार परिभाषित है कि

R = {(x, y) : 4x – y = 0}, दिखाइए कि R, न तो स्वतुल्य है न सममित तथा न ही संक्रमक है।

हल: प्रश्नानुसार,

A = {1, 2, 3,…, 13, 14, 15, 16}

R = {(x, y) : 4x – y = 0}

R = {(1, 4), (2, 8), (3, 12), (4, 16)}

(i) R स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि (1, 1) Æ R

अर्थात् (a, a) ę R, a e A

या a R a.

(ii) R सममित नहीं है, क्योंकि

प्रश्न 24. सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक तत्समक सम्बन्ध स्वतुल्य होता है परन्तु प्रत्येक स्वतुल्य सम्बन्ध तत्समक नहीं होता है।

हल: माना A = { a, b, c}

तथा इस पर तत्समक सम्बन्ध

IA = {(a, b) : a = b} ∀ a, b ∈ A

अर्थात् IA = {(a, a), (b, b), (c, c)}

स्पष्टतः IA तत्समक सम्बन्ध स्वतुल्य है क्योंकि

(a, a) ∈R, a ∈ A

पुन: R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, c)}

समुच्चय पर स्वतुल्य है परन्तु तत्समक नहीं है, क्योंकि (a, c) ę IA

प्रश्न 25. यदि A = {1, 2, 3} तथा समुच्चय A पर सम्बन्ध R1 R2 R3 तथा R 4 निम्न प्रकार परिभाषित है । R1 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}

R2 = {(1, 1)}

R3 = {(2, 3)}

R4 = {(1, 2), (2, 3), (3, 1)

तो इन सम्बन्धों की स्वतुल्यता, सममितता तथा संक्रमकता की जाँच कीजिए ।

हल: (i) प्रश्नानुसार,

A = {1, 2, 3}

R1 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}

(a) R ) स्वतुल्य है, क्योंकि

(1, 1), (2, 2), (3, 3) e Ri

अर्थात् (a, a) R1 a e A

(b) R1 सममित नहीं है, क्योंकि (1, 2) ∈ R परन्तु ( 2, 1) ≠ R 1.

अत: R1 स्वतुल्य है, परन्तु सममित तथा संक्रमक नहीं है।

(ii) R2 = {(1, 1)}

(a) R2 स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि (2, 2) É R2

(b) R2 सममित है, क्योंकि

(1, 1) ∈ R2 ⇒ (1, 1) ∈ R2

(1, 1) ∈ R2, (1, 1) ∈ R2 ⇒ (1, 1) ∈ R2

(iii) R3 = {(2, 3)}

(a) R3 स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि (2, 2) ¢ R3

(b) R3 सममित नहीं है, क्योंकि

(2, 3) ∈ R3 ⇒ (3, 2) ∈ R3

(iv) {(1, 2), (2, 3), (3, 1)}

(a) R4 स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि

(1, 1) ≠ R4, (2, 2) É R4, (3, 3) E R4

(b) R4 सममित नहीं है क्योंकि (12) E R परन्तु ( 2, 1) eR

या (1,2) ER ( 2, 1) ER

(1, 2) ∈ R, (2, 3) ∈ R ⇒ (1, 3) ∈ R

या (1, 2) ∈ R, (2, 3) ∈ R परन्तु ( 1, 3) ≠ R.

प्रश्न 26. यदि सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय Q (शून्य को छोड़कर) हो तथा इस पर सम्बन्ध R इस प्रकार परिभाषित हो कि aRb = a = 1/b ,जहाँ a, b E Q तो सिद्ध कीजिए कि सम्बन्ध R सममित है परन्तु स्वतुल्य और न ही संक्रमक है।

हल: प्रश्नानुसार,

2 = सम्पूर्ण संख्याओं का समुच्चय (शून्य को छोड़कर)

या Q = (x : x एम परिमेय संख्या है, x + 0}

(b) R स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि a ≠ 1/a अर्थात् कोई भी संख्या अपने प्रतिलोम के बराबर नहीं हो सकती है। जैसे

प्रश्न 27. यदि सभी पूर्णांक संख्याओं का समुच्चय Z पर सम्बन्ध R इस प्रकार परिभाषित है कि

aRb यदि ab = ba

अर्थात् aRb= ab = ba, जहाँ a, b e z तो R के तुल्यता सम्बन्ध की जाँच कीजिए।

हल: प्रश्नानुसार,

Z = सभी पूर्णांकों का समुच्चय

Z = {x : x एक पूर्णांक है

R = {(a, b) : ab = ba ; a, b ∈ Z}

(a) R स्वतुल्य है, क्योंकि

(a, a ) E R अर्थात् aRa

⇒ aa = aa, जो कि सत्य है।

(b) R सममित है क्योंकि

aRb = ab = ba

⇒ ba = ab

= bRa

aRb = bRa

या (a, b) ER (b, a) ∈ R

aRb, bRc = ab = ba तथा bc = cb

= ab\a = cb/c

( क्योंकि ab = ba तथा bc = cb तो ab/a = b = cb/c )

= aRc

aRb, bRc = aRc, (ac # ca)

अर्थात् हम देखते हैं कि सम्बन्ध R स्वतुल्य तथा सममित है परन्तु संक्रमक नहीं है। अतः R तुल्यता सम्बन्ध नहीं है।

प्रश्न 28. यदि समतल के सभी बिन्दुओं का समुच्चय P हो तथा इस पर सम्बन्ध R इस प्रकार परिभाषित हो कि (A, B) R (C, D), यदि ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है, जहाँ A, B, C तथा D दिए गए समतल P में बिन्दु हैं । दिखाइए कि सम्बन्ध R एक तुल्यता सम्बन्ध है ।

हल: प्रश्नानुसार,

P = समतल में सभी बिन्दुओं का समुच्चय

P = {x: x, समतल में एक बिन्दु है }

R = {(A, B), (C, D) : ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है}

(a) R स्वतुल्य है, क्योंकि (A, B )R (A, B); VA, B E P इस मान्यता के आधार पर कि ABAB एक समान्तर चतुर्भुज है।

(b) R सममित है, क्योंकि यदि (A, B) R (C, D) तब (AB) R (C, D) ⇒ ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है ⇒ CDAB एक समान्तर चतुर्भुज है।

⇒ (C, D) R (A, B)

अत: (A, B) R (C, D) ⇒ (C, D) R (A, B) जैसा चित्र में दिखाया गया है :

⇒ ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।

तथा (CD) R (E, F)

⇒ CD EF एक समान्तर चतुर्भुज है।

यदि ABCD तथा CDEF समान्तर चतुर्भुज है, तब ABEF एक समान्तर चतुर्भुज है अर्थात्

(A, B)R (E, F) = ABEF एक समान्तर चतुर्भुज है

अत: (A, B) R (C. D): ( C, D ), R (E, F)

= (A, B) R (E, F)

हम देखते हैं कि दिया हुआ सम्बन्ध स्वतुल्य, सममित तथा संक्रमक है। अतः यह तुल्यता सम्बन्ध है।

प्रश्न 29. यदि सम्बन्ध R प्राकृत संख्याओं के समुच्चय N पर इस प्रकार परिभाषित है कि

प्रश्न 30. एक ऐसे सम्बन्ध का उदाहरण दीजिए जो कि:

(i) स्वतुल्य तथा संक्रमक हो परन्तु सममित न हो।

(ii) सममित तथा संक्रमक हो परन्तु स्वतुल्य न हो।

(iii) स्वतुल्य तथा सममित हो परन्तु संक्रमक न हो।

(iv) सममित हो परन्तु न तो स्वतुल्य हो और न ही संक्रमक |

(v) संक्रमक हो परन्तु न तो स्वतुल्य हो और न ही सममित है।

हल माना A = (a, b, c) तथा इस पर सम्बन्ध R निम्न प्रकार है :

(i) R1 {(a, a), (b, b), (c, c ), ( a, b ) }

(a) R1 स्वतुल्य है, क्योंकि R1 = (a, a) ER 1. (h, b) ER1, (c, c) e R1,

(b) R1 सममित नहीं है, क्योंकि (a, b) E R1 परन्तु (b, a) E R1 अर्थात् aR1b = bR1a

अर्थात् aR1a, aR1b = aR1b

(ii) सम्बन्ध R 2, समुच्चय A = {a, b, c } पर निम्न प्रकार परिभाषित है

R2 = {(a, a), (b, b), (a, b), (b, a)}

(a) R2 सममित है, क्योंकि

(a, b) ∈ R2 ⇒ (b, a) ∈ R2

aR2b ⇒ bR2a

(b) R2 संक्रमक है, क्योंकि (a, a) ∈ R2 तथा (a, b) ∈ R2

है तब (a, b) E R2

अर्थात् aR2a, aR2b ⇒ aR2b

या cR2c.

(iii) सम्बन्ध R3 समुच्चय A = { a, b, c } पर निम्न प्रकार परिभाषित है :

R3 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a), (b, c), (c, b)}

(a) R3 स्वतुल्य है, क्योंकि

(a, a) e R3, (b, b) e R3, (c, c) e R3

(b) R3 सममित है, क्योंकि

(a, a) e R3, (a, b) e R3 = (a, b) e R3

(b, b) ∈ R3, (b, a) ∈ R3 = (b, a) ER3

(c, c) e R3, (c, b) e R3 = (c, b) e R3

(b, c) e R3, (c, b) e R3 = (b, b) Є R3

(a, b) ∈ R3 तथा ( b, c) R3 (a, c) ∈ R3

(iv) सम्बन्ध R4 समुच्चय A = { a, b, c} पर निम्न प्रकार परिभाषित है

R4 = {(b, b), (c, c), (a, b), (b, a)}

(a) R4 सममित है, क्योंकि

(a, b) ∈ R4 ⇒ (b, a) ∈ R4 अर्थात् aRb bRa

(b) R4 स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि

(a, a) ∈ R4 अर्थात् aR4a

(a, b) ∈R4, (b, a) ∈ R4 परन्तु (a, a) E R4

अर्थात् ‘aR4b तथा bR4a = aR4a

(v) सम्बन्ध R5 समुच्चय A { a, b, c} पर निम्न प्रकार परिभाषित है

R5 = {(a, a), (b, b), (b, c)}

(a) R5 संक्रमक है, क्योंकि (b, b)∈ R5, (b, c) ∈ R5, तब (b, c) ∈ R5 अर्थात्

(b, b) ∈ R5, (b, c) ∈ R5 (b, c) ∈ R5

bR5b, bR5c ⇒ bR5c

(b) R5 स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि (c, c) = R5

अर्थात् cR5.c

अर्थात् bR5c = cR5b .

प्रश्न 31. यदि प्राकृत संख्याओं N के समुच्चय पर सम्बन्ध R इस प्रकार परिभाषित है कि

R = {(a, b) : 3a + b = 35, a, b ∈ N}

तो सम्बन्ध R का डोमेन तथा परिसर ज्ञात कीजिए तथा साथ ही साथ R की स्वतुल्यता, सममितता तथा संक्रमकता की जाँच कीजिए।

हल प्रश्नानुसार,

N = प्राकृत संख्याओं का समुच्चय

N = {x : x एक प्राकृत संख्या है}

R = {(a, b) : 3a + b = 35}

सम्बन्ध R का डोमेन ( domain )

= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

सम्बन्ध R का परिसर ( Range )

= {32, 29, 26, 23, 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2}

[नोट : डोमेन तथा परिसर ज्ञात करने के लिए 3a+b = 35 में a का मान 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 रखने पर इनके संगत b का मान ज्ञात किया जा सकता है जो कि समीकरण 3a + b = 35 को सन्तुष्ट करेगा।]

तब दिया हुए सम्बन्ध R को निम्न प्रकार प्रदर्शित किया जा सकता है :

R= {1, 32), (2, 29), (3, 26), (4, 23), (5, 20). (6, 17), (7, 14), (8, 11), (9, 8), (10, 5), (11, 2)}

अब (i) R स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि (a, a) ER सत्य नहीं है दिए हुए सम्बन्ध से,

3a + a = 35 = 4a = 35

A = 35/4 जो कि प्राकृत संख्या नहीं है।

अतः a Ra

(ii) R सममित नहीं है, क्योंकि (a, b) ER त

ब (b, a ) E R सत्य नहीं है।

उदाहरणार्थ, (11,2) ER अर्थात् 11 x 3 + 2 = 35

परन्तु (2, 11) ER अर्थात् 2 x 3 + 11= 17 = 35

इसी प्रकार (1,32) E R परन्तु (32, 1) E R

(iii) R संक्रमक नहीं है, क्योंकि (8, 11) ∈ R तथा (11, 2) ∈ R परन्तु (8, 2) ∈R

अर्थात् 3a + b = 3 x 8 + 2

= 26#35

प्रश्न 32. यदि A = {3, 4, 5) तथा समुच्चय 4 पर सम्बन्ध R1 R2 तथा R3 निम्न प्रकार परिभाषित हैं:

R1 = {(3, 3), (3, 5), (5, 3), (4, 4), (4, 3), (5, 5)}

R2 = {(4, 4), (5, 3), (3, 5)}

R3 = (3, 5), (5, 5)}

तब R1 R2 तथा R3 की समुच्चय A पर स्वतुल्यता, सममितता तथा संक्रमकता की जाँच कीजिए ।

हल: प्रश्नानुसार,

A1 = {3, 4, 5}

R1 = {(3, 3), (3, 5), (5, 3), (4, 4), (4, 3), (5,5)}

(i) R1 स्वतुल्य है, क्योंकि (3, 3), (4, 4), (5, 5) ∈ R1

अर्थात् 3R13, 4R14, 5R 15.

(ii) R1 सममित नहीं है, क्योंकि (4, 3) ∈ R1 परन्तु (3, 4) E R1

अर्थात् 4R13 = 3R 14.

(iii) R) संक्रमक नहीं है, क्योंकि ( 4, 3) E R1 तथा (3, 5) ∈ R1 परन्तु ( 4, 5) R अर्थात्

4R13 तथा 3R15 = 4R15.

प्रश्नावली 1 (A) अभ्यास के लिए

1. यदि समुच्चय S = { a, b, c} पर सम्बन्ध R1 तथा R2 निम्न प्रकार से परिभाषित हैं :

R1 = {(a, b), (b, a), (a, a), (b, b)}

R2 = {(b, c), (c, b), (b, b), (c, c)}

तो दिखाइए :

(a) R1 तथा R2 संक्रमक हैं।

(b) R1 R2 संक्रमक नहीं है।

2. यदि कोई सम्बन्ध R इस प्रकार परिभाषित है कि :

R = {(4, 5), (1, 4), (4, 6), (7, 8), (3, 7)}

तो R-1 का मान ज्ञात कीजिए ।

3. यदि a, b ∈ I और I पर सम्बन्ध R इस प्रकार परिभाषित है कि aRb यदि और केवल यदि ‘ और b सम संख्याएँ है’, तो दिखाइए कि यह सम्बन्ध सममित है, संक्रमक है परन्तु स्वतुल्य नहीं है।

[ संकेत : यदि a = 3, तो 3 और 3 सम नहीं हैं अर्थात् 3 X 3 इसी प्रकार a = 5 तो 5 R 5 आदि । ]

4. यदि धन पूर्णांकों (प्राकृत संख्याओं) के समुच्चय N में सम्बन्ध R इस प्रकार परिभाषित है कि

R = {(x, y) : : x + y = 11}

तो सिद्ध कीजिए कि सम्बन्ध R न तो स्वतुल्य है तथा न ही संक्रमक, परन्तु सममित है।

[ संकेत : R = {(1, 10), (2, 9), (3, 8), (4, 7), (5, 6), (6, 5), (7, 4), (8, 3), (9, 2), (10, 1)]

5. यदि A = {3, 4, 5, 6} तो समुच्चय A पर एक ऐसा सम्बन्ध स्थापित कीजिए जो कि :

(i) स्वतुल्य तथा सममित हो परन्तु संक्रमक न हो ।

(ii) सममित हो परन्तु न तो स्वतुल्य हो और न ही संक्रमक |

(iii) स्वतुल्य, सममित तथा संक्रमक हो ।

6. यदि A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} तथा इस पर सम्बन्ध R इस प्रकार परिभाषित है कि :

R = {(a, b) : b = a + 2}, जहाँ a, b, ∈ A तो सम्बन्ध R की समुच्चय A पर स्वतुल्यता, सममितता तथा संक्रमकता की जाँच कीजिए ।

7. यदि समुच्चय A = {3, 4, 5 } पर सम्बन्ध R इस प्रकार परिभाषित है कि :

R = {(3, 4), (4, 5)}

तो उन क्रमित युग्मों को सम्बन्ध R पर इस प्रकार प्रयुक्त कीजिए कि परिणामी सम्बन्ध स्वतुल्य, सममित तथा संक्रमक हो ।

8. वास्तविक संख्याओं के समुच्चय S पर सम्बन्ध R इस प्रकार परिभाषित है कि R = {(a, b): a ≠ (b)} तो सम्बन्ध R की स्वतुल्यता, सममितता तथा संक्रमकता की जाँच कीजिए ।

9. वास्तविक संख्याओं के समुच्चय ऽ पर सम्बन्ध R1 तथा R2 इस प्रकार परिभाषित हैं कि

R1 = {(a, b) : a2 – 10ab + 9b2 = 0 }

R2 = {(a, b) : a b > 0}

तो R1 तथा R2 की स्वतुल्यता, सममितता तथा संक्रमकता की जाँच कीजिए ।

10. यदि A = {6, 7, 8} तथा समुच्चय A पर सम्बन्ध R1 R2 तथा R3 इस प्रकार परिभाषित हैं कि :

R1 = {(6, 6), (6, 8), (8, 6), (7, 7), (7, 6), (8, 8)}

R2 = {(7, 7), (8, 6), (6, 8)}

R3 = {(6, 83, (8, 8)}

तो R1 R2 तथा R3 की स्वतुल्यता, सममितता तथा संक्रमकता की जाँच कीजिए ।

11. यदि A = {3, 5, 7} तथा इस पर सम्बन्ध R इस प्रकार परिभाषित है कि :

R = {(3, 5), (3, 3), (5, 7)}

तो उन क्रमित युग्मों की कम-से-कम संख्या ज्ञात कीजिए जिनको सम्बन्ध R में सम्मिलित करने पर परिणामी सम्बन्ध समुच्चय A पर संक्रमक हो ।

12. यदि A = {7, 8, 9} तथा समुच्चय A पर सम्बन्ध R इस प्रकार परिभाषित है कि

R = {(7, 8), (8, 7)}

तो सिद्ध कीजिए कि सम्बन्ध R सममित है परन्तु न तो स्वतुल्य और न ही संक्रमक है।

उत्तरमाला

2. R-1 ={(5, 4), (4, 1), (6, 4), (8, 7), (7, 3)}

5. (i) R = {(3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (4, 5)}

(ii) R ={ ( 4, 5), (5, 4)}

(iii) R = {(3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (3, 4), (4,3)}

6. दिया हुआ सम्बन्ध न तो स्वतुल्य है, न ही सममित तथा न ही संक्रमक । [संकेत : R = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6), (5,7), (6,8)}

(1, 1) ≠ R, अत: R स्वतुल्य नहीं है।

(1, 3) ∈ R परन्तु (3, 1) R, अत: R सममित नहीं है।

(1, 3), (3, 5) ∈ R परन्तु (1, 5) ÉR

अतः R संक्रमक नहीं है ।]

7. (3, 3), (4, 4), (5, 5), (3, 5), (4, 3), (5, 4), (5, 3).

[ संकेत : परिणामी सम्बन्ध = {(3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 4), (4, 3), (4, 5), (5, 5), (5, 3), (5, 4)} जो कि स्वतुल्य, सममित तथा संक्रमक है । ]

8. स्वतुल्य, सममित तथा संक्रमक और इनमें कोई भी नहीं ।

9. स्वतुल्य है परन्तु न तो सममित तथा न ही संक्रमक है।

[ संकेत : aRa = a2 – 10a.a + 9a2

= a2 – 10a2 + 9a2

= 0

अत: (a, a ) ER

तब R स्वतुल्य है ।

10. (i) R1 स्वतुल्य तथा संक्रमक है परन्तु सममित नहीं है । [ संकेत : (6, 6), (7, 7), (8, 8) ∈ R अत: R स्वतुल्य है।

(7, 6) ∈ R1 परन्तु ( 6, 7 ), R1, अत: R1 सममित नहीं है।

पुन: ( 6, 6) ∈ R1, (6, 8) ∈ R1 = (6, 8) ∈ R1,

(6, 8) ∈R 1 (8,6) ∈R 1 = ( 6, 6) ∈ R1

(8, 6) ∈ R1, (8, 8) ∈R1 = (8, 8) ∈R 1

(7, 7) ∈ R1, (7, 6) ∈R = (7, 6) R1

( 8, 8) ∈ R1, (8, 6) ER 1 ⇒ (8, 6) ∈ R1

अतः R संक्रमक है । ]

(ii) R2 सममित है परन्तु न तो स्वतुल्य और न ही संक्रमक हैं।

[ संकेत : ( 8, 6) ∈ R2 (6, 8) ∈ R2, R2 सममित है।

(6, 6) ≠ R2, अत: R2 स्वतुल्य नहीं है ।

(8, 6) ∈ R2 तथा (6, 8) ∈ R2 परन्तु ( 8, 8) ≠ R2 अतः R2 संक्रमक नहीं है । ]

(iii) R3 संक्रमक है परन्तु न तो स्वतुल्य और न ही सममित ।

[ संकेत : (6, 8) ∈ R3 तथा (8, 8) ∈R3 ⇒ (6, 8) ER 3, सत्य है।

अत: R3 संक्रमक है।

(6, 6), (7, 7), (8, 8) R3

अत: R3 स्वतुल्य नहीं है।

पुन: ( 6, 8 ) E R3 परन्तु (8, 6) ę R3

अतः R3 सममित नहीं है । ]

11. क्रमित युग्म ( 3, 7).

संकेत : परिणामी सम्बन्ध = ={(3, 5), (3, 3), (5, 7), (3, 7)} स्पष्टतः यह संक्रमक है।

12. [संकेत : (7, 8) ∈R = (8, 7) ∈R सममित (7, 7) ≠ R, स्वतुल्य नहीं है।

(7, 8) ∈ R, (8, 7) ∈ R परन्तु (7, 7) ≠ R, संक्रमक नहीं ।]

प्रश्नावली 1 (B) अभ्यास के लिए

1. यदि प्राकृत संख्याओं का समुच्चय N है तथा इस पर परिभाषित सम्बन्ध R इस प्रकार है कि R = {(x, y) : x − y, 7 से विभाज्य है, जहाँ x, y EN तो सिद्ध कीजिए कि R तुल्यता सम्बन्ध है।

2. यदि सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय S है तथा इस पर सम्बन्ध R इस प्रकार परिभाषित है कि : R = {(x, y) : x = + y; x, y ∈ S}

सिद्ध कीजिए कि R तुल्यता सम्बन्ध है ।

3. यदि पूर्णांकों के समुच्चय Z पर सम्बन्ध R इस प्रकार परिभाषित है कि : R = {(a, b) (a + b) सम संख्या है; a b e Z} सिद्ध कीजिए कि R तुल्यता सम्बन्ध है।

4. यदि समतल में सभी बहुभुजों का समुच्चय A हो तथा A पर सम्बन्ध R इस प्रकार परिभाषित है कि R = { ( B1, B2 ) : B

तथा B2 बहुभुज हैं तथा उनके शीर्षों की संख्या समान है

सिद्ध कीजिए कि सम्बन्ध R एक तुल्यता सम्बन्ध है।

5. यदि पूर्णांकों के समुच्चय Z पर सम्बन्ध R इस प्रकार परिभाषित है कि R = ( ( a, b ) : (ab) 6 से विभाज्य है) सिद्ध कीजिए कि R तुल्यता सम्बन्ध है।

6. यदि 4 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) तथा 4 पर सम्बन्ध R इस प्रकार परिभाषित है कि R = {(a, b): a तथा b दोनों या तो सम हैं अथवा

विषम हैं। }

सिद्ध कीजिए कि R तुल्यता सम्बन्ध है पुनः दिखाइए कि उपसमुच्चय { 1, 3, 5, 7, 9} के सभी अवयव एक-दूसरे से सम्बन्धित हैं तथा उपसमुच्चय {2, 4, 6, 8) के सभी अवयव एक-दूसरे से सम्बन्धित हैं। परन्तु उपसमुच्चय { 1, 3, 5, 7, 9 का कोई अवयव

उपसमुच्चय {2, 4, 6, 8) के किसी अवयव से सम्बन्धित नहीं है।

7. यदि सभी वास्तविक संख्याओं समुच्चय S है तथा उस पर सम्बन्ध R इस प्रकार परिभाषित है कि

R = {(a, b); a4 + b4 = 1}

सिद्ध कीजिए कि R तुल्यता सम्बन्ध नहीं है।

8. यदि A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} तथा इस पर सम्बन्ध R इस प्रकार परिभाषित है कि

R = ( ( a, b ) : a= b}

सिद्ध कीजिए कि R एक तुल्यता सम्बन्ध

19. यदि समतल में सभी बिन्दुओं का समुच्चय A है तथा इस पर सम्बन्ध R इस प्रकार परिभाषित है कि

R = ((a, b): मूलबिन्दु से a तथा b की दूरी बराबर है},

जहाँ a तथा b समतल में बिन्दु हैं।

सिद्ध कीजिए कि R तुल्यता सम्बन्ध है।

10. यदि A = {x ∈ Z, : 0 < x < 20} पर सम्बन्ध R इस प्रकार परिभाषित है कि

R = {(a, b); | a – b, 5 का गुणक है},

जहाँ, a, b E A

सिद्ध कीजिए कि R तुल्यता सम्बन्ध है ।

[सभी प्रश्नों के हल विभिन्न उदाहरणों से जो कि पहले हल किये गये हैं) में मिल जायेंगे ।]

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