relation and function class 12 notes pdf in hindi , सम्बन्ध और फलन , डोमेन एवं परिसर , प्रतिलोम सम्बन्ध

इसी तरह जब हम कहते है कि राम की लम्बाई श्याम की लम्बाई से अधिक है तो यह राम व श्याम के मध्य एक सम्बन्ध दर्शाता है।

इसी तरह भारत की राजधानी नई दिल्ली है , इसमें दो स्थानों के बीच सम्बन्ध दर्शाया गया है।

संख्या 99 , संख्या 66 से बड़ी है , इसमें दो संखाओ के मध्य सम्बन्ध दर्शाया गया है। अगर इसे और विस्तार से देखे तो इसमें दो संखाएँ है 99 व 66 जिसमे सम्बन्ध “दूसरी से बड़ी” है।

व्यापक रूप से यदि (a , b) एक क्रमित युग्म है और इसके अवयव a एवं b है , ये दोनों अवयव किसी सम्बन्ध R से जुड़े है तो हम इस तथ्य को aRbद्वारा लिखते है। इसे a सम्बन्ध b पढ़ा जाता है।

किसी समुच्चय में सम्बन्ध : किसी भी समुच्चय A पर कोई सम्बन्ध R , A X A का उपसमुच्चय होता है।

अब हम दो समुच्चयो में सम्बन्ध की चर्चा करते है –

माना A = {1 , 8 ,27} एवं B = {1 , 2 , 3} दो समुच्चय है तब

AxB = {(1,1) , (1 ,2) , (1,3) , (8,1) , (8,2) , (8,3) , (27,1) , (27,2) , (27,3)}

अब A से B में कोई सम्बन्ध इस प्रकार पाया जाता है (x , y) ϵ R , जहाँ x = y² {x ϵ A , y ϵ B} अर्थात क्रमित युग्म (x , y) में

प्रथम अवयव = (द्वितीय अवयव)²

तो R = {(1,1) , (8,2) , (27,3)}

स्पष्ट है कि R ⊆ A x B

परिभाषा : समुच्चय A से समुच्चय B में कोई सम्बन्ध R , A x B का उपसमुच्चय होता है अर्थात  R ⊆ A x B

सम्बन्ध का डोमेन एवं परिसर (domain and range of a relation)

डोमेन : यदि R , A समुच्चय से B समुच्चय में एक सम्बन्ध है अर्थात R ⊆ A x B तो डोमेन : R के क्रमित युग्मो के सभी प्रथम अवयवों का समुच्चय डोमेन या Dom (R) कहलाता है , अर्थात डॉम (R) = {x : x ∈ A तथा (x,y) ∈ R }

परिसर : R के क्रमित युग्मों के सभी द्वितीय अवयवों का समुच्चय परिसर या रेंज (R) कहलाता है।

अर्थात परिसर या रेंज (R) = {y : y ∈ B तथा (x , y) ∈ R}

टिप्पणी : Dom (R) में A समुच्चय के वे ही अवयव होंगे जो R सम्बन्ध द्वारा B समुच्चय के अवयवों से सम्बन्धित है। ठीक इसी प्रकार परिसर (रेंज) R में B के वे ही अवयव होंगे जो R द्वारा A के अवयवों से समन्धित है।

अत: स्पष्ट है कि Dom (R) ⊆ A एवं परिसर (R) ⊆ B

उदाहरण : यदि A = {1 , 2 , 3}तथा B = {a , b ,c} , यदि A से B में कोई सम्बन्ध R = {(1 ,a) , (2,b) , (3,c)} हो , तो

डोमेन (R) = {1,2,3} या डोमेन (R) ⊆ A एवं परिसर (R) = {a,b,c} , परिसर (रेंज) (R) ⊆ B

प्रतिलोम सम्बन्ध (Inverse Relation)

माना R , A से B में एक सम्बन्ध है , जहाँ R = {(x,y) : x∈A , y∈B} तो सम्बन्ध R का प्रतिलोम सम्बन्ध वह समुच्चय होता है जो सम्बन्ध R के प्रत्येक क्रमित युग्म के अवयवों को परस्पर बदल देने पर प्राप्त होता है , प्रतिलोम सम्बन्ध R^-1 से निरुपित किया जाता है।

अत: R^-1 = {(y,x) : y ∈ B , x ∈ A तथा (x , y) ∈ R }

इस प्रकार (x , y) ∈ R <=> (y , x) ∈ R^-1

अत: इस प्रकार स्पष्ट है कि परिसर (रेंज) R^-1 = डोमेन R एवं डोमेन R^-1 = परिसर R

उदाहरण : (1) A = {a , b , c} और B = {1 , 2 , 3} में यदि R = {(a , 1) , (a,3) , (b,3) , (c , 3)}

तो R^-1 = {(1 ,a) , (3 ,a) , (3 ,b) , (3 ,C)}

(2) समुच्चय N x N पर सम्बन्ध R इस प्रकार परिभाषित है कि R {(x,y)∈ N xN : y = x+1 }

तो प्रतिलोम सम्बन्ध R^-1 = {(y ,x)∈ N x N : x = y-1 }

(3) यदि xRy का अर्थ है x,y का वर्ग है तो yR^-1x का अर्थ y , x वर्गमूल होगा।

(4) यदि xRy का अर्थ है x > y है तो yR^-1x का अर्थ y < x होगा।

(5) यदि xRy का अर्थ x , y का पिता है तो yR^-1x का अर्थ y , x का पुत्र हुआ।

प्रमेय (Theorem) : सिद्ध कीजिये कि किसी प्रतिलोम का प्रतिलोम दिया हुआ मूल सम्बन्ध ही होता है अर्थात (R^-1)^-1 = R

उत्पत्ति : माना R , A x B में कोई सम्बन्ध है।

अत: R = {(x,y) : x ∈ A , y ∈ B}

तो R^-1 = {(y,x) : y ∈ B , x ∈ A}

पुन: इस R^-1 का प्रतिलोम करने पर अर्थात (R^-1)^-1

(R^-1)^-1 = {(x , y) : x ∈ A , y ∈ B} अत: यह मूल सम्बन्ध R के समान है अत: किसी प्रतिलोम का प्रतिलोम दिया हुआ मूल सम्बन्ध ही होता है अर्थात (R^-1)^-1 = R