समान्तर अक्षों का प्रमेय क्या है (Theorem of parallel axes in hindi)
प्रश्न : समान्तर अक्षों का प्रमेय क्या है (Theorem of parallel axes in hindi) ?
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समान्तर अक्षों का प्रमेय (Theorem of parallel axes)
किसी घूर्णन अक्ष के सापेक्ष किसी पिण्ड का जड़त्व आघूर्ण पिण्ड के गुरुत्व केन्द्र से गुजरने वाली समान्तर अक्ष के सापेक्ष पिण्ड के जड़त्व आघूर्ण तथा उसके द्रव्यमान और दोनों समान्तर अक्षों के मध्य लाम्बिक दूरी के वर्ग के गुणनफल के योग के तुल्य होता है।
यदि किसी समतल पटल का आघूर्ण पटल के लम्बवत् किसी अक्ष (YY’) के सापेक्ष I हो तथा उसके द्रव्यमान केन्द्र G से पारित समान्तर अक्ष (AB) के सापेक्ष । हो, पटल का द्रव्यमान M हो तथा दोनों अक्षों के बीच लाम्बिक दूरीd हो तो समान्तर अक्षों के प्रमेय के अनुसार
I = Io + M d2
चित्र (6) के अनुसार यदि कोई m द्रव्यमान का कण बिन्दु P पर स्थित है तो P की अक्षYYसे दरी OP. अक्ष AB से दूरी PG से निम्न रूप में सम्बन्धित होगी
OP2 =OQ2 +Qp2
= (OG + GQ)2 +QP2 =OG2 +2 OGGQ+GQ2 +QP2
=OG2 +GP2 +2(OG).(GP)cosθ
(GP2 = GQ2 + Qp2 GQ = GP cosθ)
यहाँ θ.OG व GP के मध्य बाह्य कोण है।
दोनों पक्षों में m गणा करने पर, जो P पर स्थित पटल के द्रव्यकण का दव्यमान है
m.OP2 = m.OG2 + m.GP2 + 2m.OGGPcos θ
Gपटल का द्रव्यमान केन्द्र है। O से घूर्णन अक्ष पारित होती है।
अब, G से पारित अक्ष के सापेक्ष पटल का जड़त्व आघूर्ण ।
Io = Σmr2 = Σm (GP)2
O से पारित अक्ष के सापेक्ष पटल का जड़त्व आघूर्ण I = Σm(OP)2
उपरोक्त समीकरण (1) को समस्त कणों के लिए लिखने पर
Σm(OP)2 = Σm(OG)2 + Σm(GP)2 + Σ2m(OG),(GP)cosθ
I = (OG)2 Σm + Σm(GP)2 + 2Σm(OG).(GP)cosθ
= d2 Σm + I0 +2d Σm(GP)cosθ
क्योंकि OG=d एक नियतांक है।
परन्तु Σm(GP)cosθ = 0
क्योंकि AB द्रव्यमान केन्द्र (centre of mass) से होकर जाता है तथा द्रव्यमान केन्द्र के प्रति कणों के द्रव्यमान आघूर्णो का योग शून्य होता है।
अतः I = IO + d2 Σm [d = OG]
I = IO + Md2 [M = Σm]
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