गोलीय कोश का उसके किसी व्यास के प्रति जड़त्व आघूर्ण के सूत्र की स्थापना कीजिये ?

(a) चित्र (16) में R त्रिज्या एवं द्रव्यमान M का एक गोलीय कोश प्रदर्शित किया गया है। इसका केन्द्र O है एवं इसके व्यास AB के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करना है।

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अक्ष AB के लम्बवत दो तलों CD व EF की। कल्पना कीजिये जिनकी केन्द्र से दूरियाँ क्रमशः x व x+ dx हैं। ये तल गोलीय कोश को एक वलय के रूप में काटेंगे जिसकी मोटाई CE होगी व त्रिज्या CP =EQ होगी। यदि कोश पर स्थिति बिन्दु E व C को केन्द्र O से मिलाने वाली त्रिज्यायें अक्ष AB से क्रमशः θ एव (θ + d θ) कोण बनाती है तो इस वलय की त्रिज्या R sin θ एवं चौड़ाई R(dθ) होगी। इस प्रकार के वलयरूपी अल्पांश पूर्ण

कोश पर θ = θ से = π कोण तक स्थित होंगे।

गोलीय कोश की सतह का क्षेत्रफल A= 4 πR²

गोलीय कोश का प्रति एकांक क्षेत्रफल द्रव्यमान = σ = M/4 πR²

वलय रूपी अल्पांश के पृष्ठ का क्षेत्रफल dA = 2π (R sin θ) R dθ

वलय का द्रव्यमान Dm = 2 π σ (R sin θ) Rdθ

वलय का AB के प्रति जड़त्व आघूर्ण dI= द्रव्यमान x (त्रिज्या)²

जिससे dl = 2 πσ (R sin θ)Rdθ (R sin θ)

= 2 πσ R⁴ sin³ θ dθ

= 2π MR² sin³ θ dθ (σ का मान रखने पर)

अतः पूर्ण गोलीय कोश का AB के प्रति जड़त्व आघूर्ण

I = ½ MR² ∫ sin³ θ dθ

= 1/2 MR² ∫ sin θ(1 – cos² θ)d θ

माना cos θ = t तो – sin θ d θ = dt

I = 1/2 MR² ∫ – (1 – t²) dt

(क्योंकि θ = 0 के लिये t = 1 तथा θ = π के लिये t = -1)

I = 1/2 MR² (-t + t³/3)^-1

= 1/2 MR² (1 – 1/3 + 1 – 1/3)

= 1/2 MR² (4/3)

= 2/3 MR²

(b) गोलीय कोश का पृष्ठ के स्पर्शीय अक्ष के प्रति जड़त्व आघूर्ण (Moment of inertia of a spherical shell about a tangential axis)

माना गोलीय कोश का स्पर्शीय अक्ष PQ के प्रति जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करना है। दी गई अक्ष PQ के समान्तर कोश के केन्द्र O से पारित अक्ष AB की कल्पना कीजिए | AB गोलीय कोश का व्यास है। अतः AB के प्रति जड़त्व आघूर्ण

I_O = 2/3 MR²

समान्तर अक्षों के प्रमेय से स्पर्शीय अक्ष PQ के प्रति जडत्व आघूर्ण

I_T = I_O + Md² (d = R)

= 2/3 MR² + MR²

= 5/3 MR²