ठोस गोले का जड़त्व आघूर्ण व्यास के परित ज्ञात करें Moment of Inertia of a Solid Sphere in hindi

Moment of Inertia of a Solid Sphere in hindi ठोस गोले का जड़त्व आघूर्ण व्यास के परित ज्ञात करें ?

ठोस गोले का जडत्व आपूर्ण (Moment of Inertia of a Solid Sphere):

(a) किसी व्यास के प्रति (About a diameter) :

चित्र (18) के अनुसार ठोस गोले की जिसका द्रव्यमान M व त्रिज्या R है, हम संकेन्द्री गोलीय कोशों से मिलकर बना मान सकते हैं। गोले के केन्द्र से x दूरी पर एक ऐसे ही गोलीय कोश पर विचार करते हैं जिसकी मोटाई dx है। x का मान 0 से R तक होगा।

गोले का आयतन = 4/3 Πr³

गोले के एकांक आयतन का द्रव्यमान p = M/4/3 Πr³

गोलीय कोश का आयतन   = 4 π x² dx

अतः गोलीय कोश का द्रव्यमान = M/4/3 π R³ 4 πx² dx

किसी व्यास के सापेक्ष गोलीय कोश का जड़त्व आघूर्ण

Di = 2/3 x  द्रव्यमान x (त्रिज्या)²

= 2/3 x 3M/4 Πr³. 4 πx²dx.x²

2M/R³ x⁴ dx

पूर्ण ठोस गोले का व्यास के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण

I = 2M/R³ ∫ x⁴dx

= 2M/R³ [x⁵/5]

= 2M/R³ .R⁵/5 = 2/5 MR²

(b) स्पर्श रेखीय अक्ष के प्रति- समान्तर अक्षों के प्रमेय से स्पर्श रेखीय अक्ष PQ के प्रति जड़त्व आघूर्ण

I_T = I_O + M.d²

I_O = 2/5 MR² तथा d = R

I_T = 2/5 MR² + MR²

= 7/5 MR²

खोखले गोले का जडत्व आघूर्ण (M.I. of a Hollow Sphere)

(a) किसी व्यास के प्रति- एक खोखले गोले पर विचार करें, जिसकी बाह्य त्रिज्या R एवं आंतरिक त्रिज्या r है। इस गोले को अनेक ऐसे गोलीय कोशों से मिल कर बना मान सकते हैं जिनकी त्रिज्याऐं x = r से x = R तक संभव हैं। ऐसे ही केन्द्र से x दूरी पर व dx मोटाई के एक गोलीय कोश की कल्पना कीजिये।

खोखले गोले का आयतन = 4/3 π(R³ – r³)

यदि गोले का द्रव्यमान M हो तो प्रति एकांक आयतन द्रव्यमान  p = 3M/4 π(R³ – r³)

विचाराधीन गोलीय कोश का आयतन = 4 πx² – dx

गोलीय कोश का द्रव्यमान = (4 πx² dx) 3M/4 π(R³ – r³)

= 3M/(R³ – r³) x² dx

किसी व्यास के प्रति गोलीय कोश का जड़त्व आघूर्ण  dt = 2/3 द्रव्यमान x त्रिज्या = 2/3 3M/(R³ – r³)x².dx.x²

= 2M /(R³ – r³)x⁴ .dx

खोखले गोले का व्यास के सापेक्ष जड़त्व-आघूर्ण

I = 2M/(R³ – r³) ∫ x⁴ dx = 2M/(R³ – r³) [x⁵/5]^r

= 2/5 M (R⁵ – r⁵/R³ – r³)

(b) स्पर्श रेखीय अक्ष के सापेक्ष

I_T = I_O + MR²                  (समान्तर अक्षों के प्रमेय से)

= 2/5 M (R⁵ – r⁵)/(R³ – r³) + MR²

= M [2/5 (R⁵ – r⁵)/(R⁵ – r³) + R²