आव्यूह कक्षा 12 गणित पीडीएफ डाउनलोड एनसीईआरटी समाधान कक्षा 12 गणित अध्याय 3 matrix class 12 in hindi

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आव्यूह pdf download

आव्यूह एक गणितीय शब्द है जो एक सारणी या तालिका के रूप में ज्ञात होता है। इसका अर्थ होता है एक निर्दिष्ट आदान-प्रदान के माध्यम से दिए गए मानों का संग्रह या सदस्यों की समूह को दर्शाने वाली तालिका। आव्यूह में विभिन्न सदस्यों के बीच संबंध स्थापित किया जाता है और इसे प्रविष्टि या उपयोग के लिए उपयोग किया जा सकता है।

आव्यूह विभिन्न क्षेत्रों में उपयोग होता है, जैसे गणित, सांख्यिकी, संगणक विज्ञान, विज्ञान, आर्थिक विज्ञान, व्यापार, अध्ययन, इत्यादि। इसके द्वारा जानकारी को संग्रहीत, आव्यूहित और व्यवस्थित किया जा सकता है ताकि उसे अधिक सुलभता से पहचाना और उपयोग किया जा सके।

उदाहरण के रूप में, एक गणितीय आव्यूह में एक सारणी बनाई जा सकती है जिसमें गणितीय ऑपरेशनों के लिए अंकों को संग्रहीत किया जाता है। व्यापार क्षेत्र में भी आव्यूह का प्रयोग किया जाता है जहां सांख्यिकी डेटा, उत्पाद विवरण, ग्राहकों की जानकारी, आदि को संग्रहीत और व्यवस्थित किया जाता है।

मैट्रिक्स एक गणितीय संरचना है जिसमें संख्याओं को तालिकाबद्ध रूप में व्यवस्थित किया जाता है। मैट्रिक्स में संख्याओं को पंक्तियों और स्तंभों के रूप में दर्शाया जाता है। हिन्दी में इसे “पंक्तिसंख्या” या “सारणी” कहा जाता है। मैट्रिक्स को आमतौर पर विशिष्ट वर्गीकरण और गणितीय आपूर्ति के लिए इस्तेमाल किया जाता है।

मैट्रिक्स का आमतौर पर दिखाए जाने वाला रूप निम्नानुसार होता है:

[a₁₁ a₁₂ a₁₃ … a₁ₙ]
[a₂₁ a₂₂ a₂₃ … a₂ₙ]
[ . . . . ]
[ . . . . ]
[ . . . . ]
[aₘ₁ aₘ₂ aₘ₃ … aₘₙ]

यहां, aᵢⱼ (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n) संख्याओं को दर्शाता है जहां m पंक्तियों की संख्या है और n स्तंभों की संख्या है। प्रत्येक aᵢⱼ मान एक तत्व को दर्शाता है जो मैट्रिक्स में स्थानांतरित किया जा रहा है।

मैट्रिक्स के साथ कई गणितीय ऑपरेशनों को भी अपनाया जा सकता है, जैसे जोड़, घटाएं, गुणा, ट्रांस्पोज़, प्रतिस्थापन, इत्यादि।

Characteristics of a mxn Matrix in hindi

mxn मैट्रिक्स की विशेषताओं को हिंदी में निम्नलिखित रूप में व्याख्या किया जा सकता है:

1. पंक्ति संख्या (m): मैट्रिक्स में पंक्तियों की संख्या है।
2. स्तंभ संख्या (n): मैट्रिक्स में स्तंभों की संख्या है।
3. आकार: मैट्रिक्स का आकार m x n होता है। यह m पंक्तियों और n स्तंभों का संयोग होता है।
4. तत्व (अंक): मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व एक आकार (अंक) को दर्शाता है जो मैट्रिक्स में स्थानांतरित हो रहा है।
5. प्रमुख आकार: जब m = n होता है, तो मैट्रिक्स को प्रमुख आकार कहा जाता है। यह एक वर्गीकृत मैट्रिक्स होती है।
6. शून्य मैट्रिक्स: सभी तत्वों की मान शून्य होती है और यह मैट्रिक्स सभी आकारों में संभव है।
7. इकाई मैट्रिक्स: प्रमुख आकार के रूप में, इसमें प्रमुख आकार की प्रत्येक प्राधिकरण के तत्वों की मान एक होती है, जबकि बाकी तत्वों की मान शून्य होती है।
8. श्रेणी: मैट्रिक्स के आकार को उसकी श्रेणी कहा जाता है। यह m और

n में से छोटे संख्या को दर्शाता है।
9. खाली मैट्रिक्स: किसी भी आकार की मैट्रिक्स जिसमें कोई तत्व नहीं होता है, को खाली मैट्रिक्स कहा जाता है।

ये मैट्रिक्स की मुख्य विशेषताएं हैं जो उसके आकार और तत्वों के आधार पर परिभाषित होती हैं।

Elements or Entries in hindi

मैट्रिक्स में हर तत्व को हिंदी में “प्रविष्टि” या “अंश” कहा जाता है। यह तत्व मैट्रिक्स के एक स्थान पर स्थित होता है और एक विशिष्ट मान रखता है। यदि हम mxn मैट्रिक्स की बात करें, तो प्रत्येक तत्व की स्थिति को aᵢⱼ (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n) से दर्शाया जाता है, जहां i पंक्ति की संख्या और j स्तंभ की संख्या होती है।

इस तरह, मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को “प्रविष्टि” या “अंश” के रूप में जाना जाता है।

Types of Matrices in hindi

मैट्रिक्स के हिंदी में विभिन्न प्रकार हैं। नीचे उनकी एक सूची दी गई है:

1. शून्य मैट्रिक्स: सभी तत्वों की मान शून्य (0) होती है।

2. इकाई मैट्रिक्स: प्रमुख आकार (square matrix) होती है और प्रमुख आकार के सभी प्राधिकरण (diagonal) तत्वों की मान 1 होती है, जबकि बाकी तत्वों की मान 0 होती है।

3. द्विघात मैट्रिक्स: एक वर्गीकृत मैट्रिक्स होती है, जिसमें प्रमुख आकार के सभी प्राधिकरण तत्वों की मान एक से अलग होती है। इसके अतिरिक्त, इसमें केवल 0 के बराबर तत्व होते हैं।

4. अनुभागीय मैट्रिक्स: जब मैट्रिक्स को पंक्तियों या स्तंभों में विभाजित किया जा सकता है और प्रत्येक भाग में एक ही प्रकार के तत्व होते हैं, तो उसे अनुभागीय मैट्रिक्स कहा जाता है।

5. सार्कुलर मैट्रिक्स: जब प्रमुख आकार के प्राधिकरणों के अलावा, इसमें अतिरिक्त तत्वों को बांधने वाली एक नियमित प्रक्रिया होती है, तो उसे सार्कुलर मैट्रिक्स कहा जाता है।

6. संयुक्त मैट्रिक्स: जब दो या अधिक मैट्रिक्सों को एक साथ जोड़ा जाता है, तो उसे संयुक्त मैट्रिक्स कहा जाता है। इसमें तत्वों का जोड़ागिरी किया जाता है और नया मैट्रिक्स उत्पन्न होता है।

7. विपरीत मैट्रिक्स: जब विद्यमान मैट्रिक्स के तत्वों को उल्टा कर दिया जाता है, तो उसे विपरीत मैट्रिक्स कहा जाता है।

ये केवल कुछ मात्र हैं, मैट्रिक्स के अन्य भी प्रकार हो सकते हैं जो विभिन्न संदर्भों में उपयोग होते हैं।

Column matrix in hindi

कॉलम मैट्रिक्स (Column Matrix) को हिंदी में “स्तंभ मैट्रिक्स” कहा जाता है। इसमें मात्र एक स्तंभ होता है और तत्वों को नीचे से ऊपर की ओर एक के बाद एक प्रस्थान किया जाता है। स्तंभ मैट्रिक्स की आकृति निम्नलिखित रूप में होती है:

a₁
a₂
a₃
⋮
an

यहां a₁, a₂, a₃, …, an स्तंभ मैट्रिक्स के तत्व हैं जिनकी मान को दर्शाते हैं। यह मात्रिक्स एक वर्गीकृत या अनुभागीय मैट्रिक्स हो सकती है, या फिर इसकी आकार mx1 हो सकती है, जहां m स्तंभों की संख्या होती है।