समाकलन कक्षा 12 गणित प्रश्न उत्तर हल प्रश्नावली समाधान , integrals class 12 ncert solutions pdf download in hindi

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 समाकलन pdf download 

समाकलन गणित में एक महत्वपूर्ण अवधारणा है। हिंदी में इसे “समाकलन” या “अवकलन” कहा जाता है। समाकलन द्वारा हम किसी फ़ंक्शन को उसके डोमेन में दिए गए संख्या (या मान) पर प्रतिस्थापित करने की प्रक्रिया को संकेतित करते हैं। इसके द्वारा हम फ़ंक्शन के मान को नए मानों पर परिभाषित कर सकते हैं और उसके विभिन्न गुणों का अध्ययन कर सकते हैं।

साधारण रूप से, यदि हमें किसी फ़ंक्शन f(x) को x = a पर समाकलित करना है, तो हम इसे f(a) द्वारा दर्शाते हैं। यहां f(a) वह मान होता है जिसे हम x = a पर समाकलित कर रहे हैं। समाकलन के द्वारा हम फ़ंक्शन के अधिकांश गणितीय और वैज्ञानिक अवधारणाओं को समझते हैं, जैसे कि सीमा, त्रिकोणमिति फ़ंक्शन, लघुत्तम-अधिकतम समाकलन, समाकलन के नियम, और बहुपद समाकलन आदि। समाकलन गणित के अध्ययन से हमें फ़ंक्शनों की स्वाभाविक प्रतिबंधितता, संयोज्यता बिंदु, अवकलन के समय प्रणाली, गणितीय अवधारणाओं की आवश्यकता और उपयोगिता आदि के बारे में ज्ञान प्राप्त होता है।

समाकलन के कुछ महत्वपूर्ण सूत्रों को यहां प्रस्तुत किया जा रहा है:

1. समाकलन का सूत्र: एक संदर्भ में, समाकलित फ़ंक्शन को दिए गए बिंदु पर प्रतिस्थापित करने का साधारण सूत्र है। यदि हमें एक फ़ंक्शन f(x) को x = a पर समाकलित करना है, तो उसका समाकलन उत्पन्न करने के लिए हम f(a) का उपयोग करते हैं।

2. समाकलन के बाहरीकरण का सूत्र: यदि हमें एक फ़ंक्शन को एक बाहरी संदर्भ में समाकलित करना है, जैसे कि f(g(x)) को x = a पर समाकलित करना हो, तो हम इसे f(g(a)) के रूप में लिखते हैं। यहां g(a) पहले फ़ंक्शन g(x) को x = a पर समाकलित करता है और फिर f(x) को इस समाकलित मान पर समाकलित करता है।

3. समाकलन और त्रिकोणमिति सूत्र: कुछ त्रिकोणमिति सूत्रों में समाकलन का उपयोग किया जाता है। जैसे, sin(a + b) को sin a और cos b के समाकलित रूप में लिखा जा सकता है।

4. समाकलन के नियम: समाकलन के कई नियम हैं जो अलग-अलग फ़ंक्शनों के लिए लागू होते हैं, जैसे कि अधिकतम समाकलन का नियम, न्यूनतम स

माकलन का नियम, समाकलन की तुलना, समाकलन के संयोज्यता बिंदु आदि।

ये सूत्र समाकलन के मूलभूत अवधारणाओं को समझने में मदद करते हैं और इसका उपयोग विभिन्न गणितीय विषयों में किया जाता है।

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इंटीग्रल गणित में एक महत्वपूर्ण अवधारणा है जो फ़ंक्शन की एक्सटेंशन (एंटीडरिवेटिव) को दर्शाती है। इसे हिंदी में “समाकलन” या “अवकलन” कहा जाता है। इंटीग्रल की संकेतिक चिह्न के रूप में ∫ (इंटीग्रेशन साइन) का प्रयोग किया जाता है।

इंटीग्रल द्वारा हम फ़ंक्शन के निर्धारित इंटरवल पर उसके वाणिज्यिक, ज्यामितीय, वैज्ञानिक और अन्य गुणों को मापते हैं। इंटीग्रल के माध्यम से हम एक फ़ंक्शन के लिए क्षेत्रफल, लंबवृत्ति, वजन केंद्र, मानक विचलन, औसत मान, संचय, विभाजन की संख्या, संचयीय समाकलन, और बहुपद समाकलन आदि का पता लगा सकते हैं।

कुछ महत्वपूर्ण इंटीग्रल सूत्रों को यहां प्रस्तुत किया जा रहा है:

1. निर्घात इंटीग्रल: यदि F(x) एक फ़ंक्शन है और f(x) उसका डेरिवेटिव है, तो ∫f(x)dx = F(x) + C, यहां C संदर्भ में एक स्थिरांक है और इंटीग्रेशन की संदर्भीय साधारिता को दर्शाता है।

2. निश्चित इंटीग्रल: एक फ़ंक्शन f(x) के लिए, ∫[a,b] f(x)dx प्रायिकता सीमा a और b के बीच f(x) का इंटीग्रल है। इसे सीमा इंटीग्रल भी कहा जाता है।

3. अनिश्चित इंटीग्रल: इंटीग्रल की विपरीत आपूर्ति को दर्शाने के लिए, ∫f(x)dx को उस फ़ंक्शन F(x) के रूप में लिखा जा सकता है जिसका डेरिवेटिव f(x) होता है। इसे अनिश्चित इंटीग्रल भी कहा जाता है।

4. समान्तर इंटीग्रल: दिए गए फ़ंक्शन के समान्तरवादी इंटीग्रल को दर्शाने के लिए, ∫f(x,y)dy को फ़ंक्शन F(x,y) के रूप में लिखा जा सकता है, जहां F का उपयुक्त डेरिवेटिव f(x,y) होता है।

ये सूत्र इंटीग्रल के मूलभूत अवधारणाओं को समझने में मदद करते हैं और इसका उपयोग विभिन्न गणितीय और वैज्ञानिक अवधारणाओं को समझने और विश्लेषण करने में होता है।

प्रतिस्थापन विधि द्वारा समाकलन

प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method) एक विधि है जिसका प्रयोग समाकलन में किया जाता है। इस विधि के माध्यम से हम विशेष चयनित प्रतिस्थापन चर द्वारा एक इंटीग्रल को अन्य सरल रूप में परिवर्तित करते हैं।

प्रतिस्थापन विधि का स्वरूप निम्नलिखित चरणों में संकेतित किया जाता है:

1. पहले, हम एक अद्यतित करके समाकलन को लिखते हैं, जिसमें हम एक अद्यतित प्रतिस्थापन का प्रयोग करते हैं। यह उस भाग को प्रकट करता है जिसे हम प्रतिस्थापन करना चाहते हैं।

2. फिर, हम उस प्रतिस्थापन चर को चुनते हैं जो हमें योग्य परिणाम देने के लिए सहायता कर सकता है। इस चर को विकल्पित चर के समान लिखते हैं।

3. अब हम प्रतिस्थापन चर की मानक डेरिवेटिव को लिखते हैं और उसे इंटीग्रल में स्थानांतरित करते हैं।

4. इंटीग्रल को नये चर में व्याप्त करने के बाद, हम उसे आसानी से हल कर सकते हैं और उसे प्राप्त कर सकते हैं।

5. अंत में, हम प्राप्त हुए परिणाम को प्राथमिक चरों में परिवर्तित करते हैं, यदि आवश्यक हो, ताकि हम मूल इंटीग्रल का उत्तर प्राप्त कर सकें।

प्रतिस्थापन विधि समाकलन में एक उपयोगी और महत्वपूर्ण तकनीक है, जो कठिन इंटीग्रल को सरल बनाने में मदद करती है। इसका उपयोग करके, हम विभिन्न प्रकार के समाकलन को हल कर सकते हैं, जैसे उपसर्गी समाकलन, अद्यतित समाकलन, बदलता गुणक समाकलन, और निश्चित समाकलन, आदि।