अपरिमित चालक प्लेट या प्लेट या (पट्टिका) के कारण विद्युत क्षेत्र की तीव्रता , गोलीय कोश या चालक गोले के कारण विद्युत क्षेत्र की तीव्रता

अपरिमित चालक प्लेट या प्लेट या (पट्टिका) के कारण विद्युत क्षेत्र की तीव्रता : जब किसी चालक प्लेट को आवेश दिया जाता है तो वह आवेश उस चालक पट्टिका के पृष्ठों पर फेल जाता है।

माना अपरिमित चालक प्लेट का पृष्ठीय आवेश घनत्व σ है। इस चालक प्लेट से लम्बवत ‘r’ दूरी पर स्थित बिंदु p पर विद्युत क्षेत्र की दिशा ठीक उसी प्रकार ज्ञात की जाती है जिस प्रकार अपरिमित अचालक परत के कारण इससे लम्बवत r दूरी पर स्थित बिन्दु पर ज्ञात की जाती है।

माना अपरिमित चालक परत का पृष्ठीय आवेश घनत्व σ है। इस अपरिमित चालक प्लेट के लम्बवत r दूरी पर स्थित बिंदु p पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता ज्ञात करने के लिए गाउसीय पृष्ठ की कल्पना करते है।

माना वृत्ताकार गाउसीय पृष्ठ का क्षेत्रफल s है तो बेलनाकार पृष्ठ से परिबद्ध कुल आवेश –

Σq = σS  [समीकरण-1]

गाउसीय नियम से –

∫E.dS = Σq/E₀

∫_s1 E.dS + ∫_s2 E.dS + ∫_s3 E.dS = Σq/E₀

∫_s1 E.dS.cos 0 + ∫_s2 E.dS.cos90 + ∫_s3 (0).dS.cos0 = Σq/E₀

∫_s1 E.dS + 0 + 0 = Σq/E₀

_{∫s1 E.dS  = Σq/E0}

_{वृत्ताकार गाउसीय पृष्ठ के क्षेत्रफल} ∫_s1 dS = S

मान रखने पर –

E.(S) = Σq/E₀

_{Σq का मान रखने पर अर्थात} Σq = σS रखने पर –

E.(S) = σS/E₀

_{E =} σ/E₀

अपरिमित चालक प्लेट (पट्टिका ) के कारण विद्युत क्षेत्र की तीव्रता व दूरी के मध्य ग्राफ –

गोलीय कोश या चालक गोले के कारण विद्युत क्षेत्र की तीव्रता (electric field intensity due to conductor spherical shell)

माना एक गोलीय कोश या चालक गोला जिसकी त्रिज्या R व आवेश ‘q’ है इस गोलीय कोश का पृष्ठीय आवेश घनत्व (σ) = q/4πR²

अत: q = σ4πR²  [समीकरण-1]

गोलीय कोश के केन्द्र से r दूरी पर स्थित बिन्दु P पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता की गणना के लिए r त्रिज्या के गोलाकार गाउसीय पृष्ठ की कल्पना करते है –

1. जब बिन्दु गोलीय कोश के बाहर स्थित हो अर्थात r > R हो –

गोलाकार गाउसीय पृष्ठ से परिबद्ध कुल आवेश –

Σq = q  [समीकरण-1]

गाउसीय नियम से –

∫E.dS = Σq/E₀

_{∫E.dS.cos 0 = Σq/E0}

_{cos 0 = 1}

_{∫E.dS =} Σq/E₀

_{समीकरण-1 से}  Σq = q

_{∫E.dS =} q/E₀

_{dS का मान रखने पर अर्थात dS =} 4πr²

E.(4πr²) = q/E₀

चूँकि गोलाकार गाउसीय पृष्ठ का कुल क्षेत्रफल ∫dS = 4πr²

E = q/E₀4πr²

E = q/E₀4πr²  [समीकरण-3]

समीकरण-1 का मान समीकरण-3 में रखने पर –

E = σR²/E₀r²

1. जब बिन्दु गोलीय कोश के पृष्ठ पर स्थित हो अर्थात r = R हो:-

गोलीय गाउसीय पृष्ठ से परिबद्ध कुल आवेश –

Σq = q  [समीकरण-1]

गाउसीय नियम से –

∫E.dS = Σq/E₀

_{चूँकि r = R रखने पर –}

E = kq/R²   [समीकरण 4]

समीकरण-1 का मान समीकरण-4 में रखने पर –

_{E =} σ/E₀

iii. जब बिंदु गोलीय कोश के अन्दर हो अर्थात r < R :-

गोलाकार गाउसीय पृष्ठ से परिबद्ध कुल आवेश (∑q = 0)

गाउसीय नियम से –

∫E.dS = ∑q/E₀

∫ E.dS cosʘ = ∑q/E₀

चूँकि ∑q = 0

∫ E.dS cosʘ = 0/E₀

इसलिए E = 0

E = 0

गोलीय कोश के कारण विद्युत क्षेत्र की तीव्रता व दूरी के मध्य ग्राफ –

ठोस आवेशित अचालक गोले के कारण विद्युत क्षेत्र की तीव्रता :-

माना ठोस आवेशित अचालक गोला जिसकी त्रिज्या ‘R’ तथा आवेश q है इस ठोस अचालक गोले का आयतन आवेश घनत्व p = q/(4πR³/3)

यहाँ से q = 4πR³ p/3   [समीकरण-1]

इस ठोस आवेशित अचालक गोले के केंद्र से r दूरी पर स्थित बिन्दु P पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता की गणना के लिए गोलाकार गाउसीय पृष्ठ की कल्पना करते है |

(i)                  जब बिंदु ठोस अचालक गोले के बाहर स्थित हो अर्थात r > R हो तो –

गोलाकार गाउसीय पृष्ठ से परिबद्ध कुल आवेश (∑q = q)   {समीकरण-2}

गाउस के नियम से –

∫E.dS = ∑q/E₀

∫ E.dS cosʘ = ∑q/E₀

Cos 0^. = 1

चूँकि  ∑q = q [समीकरण 1 से]

∫ E.dS = q/E₀

सम्पूर्ण गोलाकार गाउसीय पृष्ठ का क्षेत्र ∫ dS = 4πr²

1. 4πr²= q/E₀

E = q/4πr²E₀     [समीकरण-3]

समीकरण 1 का मान समीकरण-3 में रखने पर –

E = pR³/3E₀r²

1. जब बिन्दु ठोस अचालक गोले की सतह पर स्थित हो अर्थात R = r हो –

गोलाकार गाउसीय पृष्ठ से परिबद्ध कुल आवेश ∑q = q

गाउसीय नियम से –

∫E.dS = ∑q/E₀

चूँकि यहाँ r = R रखने पर –

E = q/4πE₀R²   [समीकरण-4]

समीकरण-1 का मान समीकरण-4 में रखने पर –

E = pR/3E₀

iii. जब बिंदु ठोस अचालक गोले के अन्दर स्थित हो अर्थात r < R हो तो –

गोलाकार गाउसीय पृष्ठ से परिबद्ध कुल आवेश (∑q = q^’)  {समीकरण-5}

गाउसीय नियम से –

∫E.dS = ∑q/E₀

∫ E.dS cosʘ = ∑q/E₀

∫ E.dS cos0 = ∑q/E₀

चूँकि Cos 0 = 1

समीकरण 1 से ∑q = q^’ से मान रखने पर –

∫ E.dS = q^’/E₀

सम्पूर्ण गोलाकार गाउसीय पृष्ठ का क्षेत्रफल ∫ dS = 4πr²

E = q^’/4πE₀r²   [समीकरण-6]

चूँकि 4πR²/3 आयतन के गोले का आवेश = q

चूँकि 1 आयतन के गोले का आवेश = q/(4πR²/3)

4πR²/3 आयतन के गोले का आवेश q^’ = qr³/R³ [समीकरण-7]

समीकरण-7 का मान समीकरण-6 में रखने पर –

E = q r/4πE₀R³  [समीकरण-8]

समीकरण-1 का मान समीकरण-8 में रखने पर –

E = p r/3E₀

1. जब बिंदु अचालक ठोस गोले के केंद्र पर स्थित हो अर्थात r = 0 हो –

E = Kq/R³ (0)

E = 0

ठोस अचालक गोले के कारण विद्युत क्षेत्र की तीव्रता व दूरी के मध्य ग्राफ –