यहाँ हम ठोस बेलन का जड़त्व आघूर्ण (Moment of Inertia of a Solid Cylinder in hindi) खोखले बेलन (Hollow Cylinder) के सूत्र की स्थापना ?
ठोस बेलन का जड़त्व आघूर्ण (Moment of Inertia of a Solid Cylinder)|
(a) मेजन की सममिति अक्ष के प्रति (About the axis of symmetry of the cylinder) चित्र (12) के अनुसार द्रव्यमान M, त्रिज्या R एव लबाई/के एक ठोस बेलन पर विचार कीजिए। ZZ’ घूर्णन अक्ष है। घूर्णन अक्ष, बेलन की अक्ष से सम्पतित है
बेलन अनेक समाक्षीय (coaxial) डिस्कों (चक्रिकाओं) के रूप में विभाजित माना जा सकता है, चित्र (12)। बेलन का कुल जड़त्व आघूर्ण इन चक्रिकाओं के जड़त्व आघूर्णो के योग के तुल्य होगा।यदि ऐसी किसी एक चक्रिका का द्रव्यमान dM है तो उसका दी गई अक्ष के प्रति जड़त्व आघूर्ण
DI = ½ (DM)R2
अतः बेलन का उसकी अक्ष के प्रति जड़त्व आघूर्ण
I = Σ1/2 (DM)R2
= 1/2 R2 Σ(Dm)
= 1/2 MR2
(b) बेलन की लम्बाई के लम्बवत् एवं इसके द्रव्यमान केन्द्र से गुजरने वाली अक्ष के प्रति जड़त्व। आघूर्ण (About an axis passing through its centre of mass and perpendicular to its length)
इस अवस्था में ठोस बेलन जिसकी लम्बाई । तथा त्रिज्या R है, बहुत सी चक्रिकाओं (डिस्को )का बना हुआ माना जा सकता है जिनकी त्रिज्या बेलन की त्रिज्या R के बराबर होगी। चित्र (13) के अनुसार ZZ’ अक्ष से x दूरी पर dx मोटाई की पतली एक ऐसी ही डिस्क (चकती) पर विचार करते हैं।।
इस पतली चकती का आयतन = ΠR2dx
चकती का द्रव्यमान dM = M/ Πr2 x Πr2Dx
= M /l dx
M/ Πr2l, बेलन के एकांक आयतन का द्रव्यमान है।
दी गई अक्ष ZZ’ के समान्तर चकती के द्रव्यमान केन्द्र से पारित अक्ष व्यास AB होगी। व्यास AB के सापेक्ष चकती का जड़त्व आघूर्ण
(δ I)o = (δ M) R2/4 = M/I dx R2/4
समान्तर अक्षों के प्रमये से ZZ’ अक्ष के सापेक्ष चकती रूपी अल्पांश का जड़त्व आघूर्ण
δ I = (δ I)O + (δ M)x2 = MR2/4I dx + M/I x2dx
= M/I [R2/4 + x2]dx
सम्पूर्ण बेलन का ZZ’ अक्ष के प्रति जड़त्व आघूर्ण
I = M/I ∫ (R2/4 + x2)
= 2M ∫ (R2 /4 + x2)dx = 2M/I (R2x/4 + x3/3)1/2
= 2M/I [R2I/8 + I3/24]
= M [R2/4 + I2/12]
यदि लम्बाई I की तुलना में त्रिज्या R अत्यल्प हो तो ऐसी पतली बेलनाकार छड के लिये
I = M I2/12
(c ). बेलन के किसी अन्त्य पृष्ठ के व्यास के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण (M.I. of a cylinder about a diameter of the end face)
समान्तर अक्षों के प्रमेय से अन्त्य पृष्ठ के व्यास PQ के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण
I = IZZ + Md2
= M [R2/4 + I2/12] + MI2/4 [d = I/2]
= M (R2/4 + I2/3)
खोखले बेलन का जडत्व आघर्ण (Moment of Inertia of a Hollow Cylinder)
(a) अपनी सममित-अक्ष के सापेक्ष (About its own axis of symmetry)
किसी I लम्बाई के एक खोखले बेलन पर विचार करते हैं जिसकी भीतरी एवं बाह्य त्रिज्याएँ क्रमशः R1 व R2 है तथा बेलन का द्रव्यमान M है। बेलन को अक्ष के लम्बवत अनेक चकतियों से बना माना जा सकता है।
बेलन का जड़त्व आघूर्ण
I = Σ (चकतिओं का जड़त्व आघूर्ण)
= Σ1/2 (Dm)(R22 + R12)
= ½ (R22 + R12) ΣdM
= 1/2 M (R22 + R12)
(b) द्रव्यमान केन्द्र से गुजरने वाले एवं बेलन के अक्ष के लम्बवत् अक्ष के प्रति जड़त्व आघूर्ण चित्रानसार बेलन के द्रव्यमान केन्द्र O से पारित, उसकी अक्ष OX के लम्बवत अक्ष OZ के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करता है।
बेलन का प्रति एकांक आयतन द्रव्यमान
केन्द्र O से अक्षीय दिशा में x दूरी पर dx मोटाई की वलयाकार चकती रूपी अल्पांश की कल्पना करें जिसकी आंतरिक एवं बाह्य त्रिज्याएँ क्रमशः R1 व R2 है तो इसे चकती का आयतन
dV = π (R22 –R21) dx
द्रव्यमान dm = π(R22 – R12)dx x M/ π(R22 – R21)
= M/I. dx
चकती का अक्ष OZ के समान्तर व्यास के प्रति जड़त्व आघूर्ण
= Dm (R22 + R12)/4 = 1/4 M/I (R22 + R12)dx
अतः समान्तर अक्षों के प्रमेय से OZ अक्ष के सापेक्ष पूर्ण बेलन का जड़त्व आघूर्ण
I = 2 ∫ [1/4 (M/I) (R22 + R12)dx + (M/I dx)x2
= ½ M/I (R22 + R12) ∫ dx + 2 M/I ∫ x2 dx
= ½ M/I (R22 + R12) I/2 + 2M/I [x3/3]1/2
= ¼ M (R22 + R12) + 2MI2/24
= M [I2/12 + 12 (R22 + R12)/4