युग्मित दोलन महत्वपूर्ण प्रश्न important coupled oscillator problems and solutions in hindi

question bank of bsc युग्मित दोलन महत्वपूर्ण प्रश्न important coupled oscillator problems and solutions in hindi ?

प्रश्नावली (Exercise)

सिद्धान्तक वर्णनात्मक प्रश्न (Theoretical Descriptive Questions)

1. युग्मित दोलक क्या होते हैं ? उदाहरण देकर समझाइये।
2. दो युग्मित आवर्ती दोलकों के गति का विश्लेषण कीजिये?
3. किसी युग्मित निकाय के सामान्य निर्देशांक (normal coordinates) तथा सामान्य विधाये (normal modes) क्या होती हैं ? उनका क्या महत्त्व है ? उदाहरण देकर समझाइये।
4. सामान्य विधायें क्या होती हैं ? सिद्ध करो कि दो युग्मित दोलकों का हल उनके दो सामान्य कम्पन विधाओं के अध्यारोपण के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है।
5. दर्शाइये कि सामान्य विधायें एक-दूसरे पर आधारित नहीं होती है।
6. द्विवस्तु दोलक को समझाइये। द्वि-युग्मित दोलित्र का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।
7. दो सर्वसम लोलकों के दोलक एक स्प्रिंग द्वारा युग्मित किये गये हैं। साम्यावस्था में स्प्रिंग शिथिल है। इस निकाय की प्रसामान्य विधा आवृत्तियाँ ज्ञात कीजिये।
8. दो एकसमान सरल लोलकों को एक k नियतांक की स्प्रिंग से युग्मित किया गया है। इस युग्मित लोलक की गति का समीकरण लिखिये और इसे विभिन्न स्थितियों के लिये हल कीजिये।
9. एक युग्मित दोलित्र के क्षणिक आचरण का वर्णन कीजिए। यदि अवमन्दन बल कार्यरत हो तो क्षणिक आचरण पर क्या प्रभाव पड़ेगा।
10. दो उदाहरण देकर यान्त्रिक निकायों में युग्मक का प्रभाव समझाइये। |
11. सिद्ध करो कि किसी युग्मित निकाय की कुल ऊर्जा नियत रहती है।
12. किसी आवर्ती बल के प्रभाव में किसी युग्मित निकाय के व्यवहार की विवेचना कीजिए। निकाय में उत्पन्न अनुनाद की अवस्था का विश्लेषण कीजिये।
13. किसी युग्मित निकाय की सामान्य कम्पन आवृत्तियों को कैसे ज्ञात किया जा सकता है? विवेचना कीजिये।
14. दो युग्मित दोलकों की प्राकृतिक आवृत्तियाँ समान हैं तो उनके बीच में ऊर्जा के आदान-प्रदान की व्याख्या कीजिये।
15. सिद्ध कीजिए कि किसी युग्मित दोलकों के समान कला विधा (in phase mode) की आवृत्ति अयुग्मित दोलकों के आवृत्ति के बराबर होती है जबकि विपरीत कला विधा (out of phase mode) की आवृत्ति उससे अधिक होती है।
16. समान द्रव्यमान के दो कणों से भारित किसी प्रत्यास्थ डोरी के अनुप्रस्थ युग्मित दोलनों का विश्लेषण दीजिए।
17. समान द्रव्यमान के N कणों से भारित किसी प्रत्यास्थ डोरी के अनुप्रस्थ युग्मित दोलनों की विवेचना कीजिए।
18. N युग्मित दोलकों की अनुदैर्ध्य कम्पन की स्थिति में सामान्य आवृत्ति समीकरण प्राप्त कीजिए। प्रकार के दोलन की अन्तक आवृत्ति कितनी होती है ?
19. L लम्बाई की रस्सी दोनों सिरों से बन्धी है तथा इसमें तनाव T है। इस रस्सी के अनुप्रस्थ दोलन के लिए प्रसामान्य विधायें ज्ञात कीजिए। आवृत्ति के आरोही क्रम में प्रथम तीन विधाओं का आरेख खीचियें।
20. Z-अक्ष के अनुदिश एक मनकेदार रस्सी की अनुप्रस्थ प्रसामान्य विधायें ज्ञात कीजिए। कुल N मनके है एवं प्रत्येक का द्रव्यमान M है। मनके Z = a, 2a, 3a….. Na दूरी पर जुड़े हैं। रस्सी की लम्बाई (N+1) a है एवं दोनों छोरों पर बंधी हुई है। परिक्षेपण सम्बन्ध भी ज्ञात करो।
21. दो प्रेरकत्वीय युग्मित विद्युत परिपथों के आवृत्तियों का विश्लेषण युग्मन गुणांक के प्रबलता के फलन के रूप में कीजिये।
22. धारितीय युग्मित LC परिपथ क्या होते हैं? दो धारितीय युग्मित LC विद्युत परिपथों के सामान्य विधाओं की आवृत्तियों की गणना कीजिए।
23. दो समान LC परिपथों पर विचार कीजिए जो प्रेरकत्वीय युग्मित है तथा जिनका युग्मन गुणांक k है। सिद्ध कीजिए कि सामान्य विधा की कम्पन आवृत्तियाँ निम्न होंगी।

ω₁  = ω₀ / √ 1 + K  तथा  ω₂ = ω₀/ √ 1 – K

24. दो समान प्रेरक युग्मित LC परिपथों के लिए युग्मन गुणांक की परिभाषा दीजिये और सामान्य विधाओं की आवृत्तियों के लिए व्यंजक प्राप्त कीजिए। आवृत्ति प्रत्यामिव्यक्ति की सहायता से युग्मन के प्रभाव की व्याख्या कीजिए।
25. एक प्रेरकत्व युग्मित LC परिपथ में प्रतिरोध को नगण्य मानते हुए इसकी अनुनादी आवृत्तियाँ ज्ञात कीजिए। अनुनादी वक्र पर क्षीण एवं तीव्र युग्मन का क्या प्रभाव होता है ?
26. समस्वरित युग्मित परिपथों से क्या तात्पर्य है ? ऐसे परिपथों में जब युग्मन गुणांक का मान न्युन से उच्च मान तक परिवर्तित करें तो धारा एवं आवृत्ति की परिवर्तनशीलता की विवेचना कीजिये ।
27. प्रेरकत्व युग्मित विद्युत परिपथों की कम्पन विधाओं की आवृत्तियों के लिए सूत्रों की स्थापना कीजिये। आरेख की सहायता से कम्पन आयाम पर युग्मन के प्रभावों को समझाइये।
28. प्रेरक युग्मित LC परिपथ क्या है ? दो प्रेरक युग्मित LC परिपथों के सामान्य रूप से आवृत्तियों छ । सम्बन्ध व्युत्पन्न कीजिये।
29. एक आदर्श ट्रान्सफार्मर द्वारा प्रेक्षित प्रतिबाधा, प्राथमिक प्रतिबाधा के समान्तर (n_b,/n_s)²Z₂ प्रतिबाधा के तुल्य होती है Np ,n_s क्रमशः ट्रांसफार्मर की प्राथमिक व द्वितीयक कुण्डलियों में फेरो की संख्या है तथा Z₂ लोड प्रतिबाधा है।
30. चित्र में दिये गये LC परिपथ को दोनों प्रसामान्य विधायें ज्ञात कीजिए।’
31. युग्मित परिपथों के लिए प्रयक्त निम्न पदों को परिभाषित कीजिए

(i) स्वाभाविक आवृत्ति (ii) सामान्य विधायें (i) प्रतिबिम्बित प्रतिबाधा

सख्यात्मक प्रश्न (Numerical Questions)

1. दो द्रव्यमान 0.03kg तथा 0.06ke के एक द्रव्यमानहीन स्प्रिंग से जुडे है जिसका स्त्रिग नियताक 20Nm^-1 है। यदि द्रव्यमान उनको मिलाने वाली स्प्रिंग के लम्बाई के अनुदिश कम्पन करने के लिए स्वतंत्र हों तो उनकी कम्पन आवृत्ति का मान ज्ञात कीजिये तथा उनकी गतिज ऊर्जा के अनुपात की गणना कीजिये।

[उत्तर-5 Hz, 2 : 1]

2. NaCl अणु की मूल कम्पन आवत्ति 1.14 x 10¹³ Hz हर्टज होती है। इस अणु के अन्तरापरमाणुक बल नियंताक का मान ज्ञात कीजिये।

Na परमाणु का द्रव्यमान = 23a.m.u तथा CI परमाण का द्रव्यमान – 35a. m.u. la.m.u., = 1.67x 10^-27kg)

(उत्तरः 118.9 Nm^-1 ]

3. यदि HC अणु की कम्पन की मूल आवत्ति 8.7 x 10¹⁸ Hz हो तो उसके अन्तरापरमाणुक बल नियताक के मान की गणना कीजिये। H परमाण का द्रव्यमान = lamu तथा CI परमाणु का द्रव्यमान = 35 amu है। (1 amu = 1.67 x 10^-27kg)

उत्तर- 484 Nm^-1  ]

4. उपरोक्त प्रश्न के अनुसार यदि H² Cl³⁵ के अणु का अन्तरापरमाणुक बल नियतांक का मान H¹CI³⁵ के अणु के बराबर हो तो H²CI³⁵ के अणु के कम्पन की मूल आवृत्ति की गणना कीजिये।

[उत्तर-6.138 x 1013 Hz]

5. दो द्रव्यमान | kg तथा 5kg के एक स्प्रिंग से जुड़े हैं जिसका बल नियतांक 400 Nm^-1 है। दोनो द्रव्यमान किसी घर्षणहीन टेबल पर रखे हैं। यदि द्रव्यमानों को थोड़ा एक दूसरे से दूर खींच कर छोड़ दिया जाय तो इस निकाय की कम्पन आवृत्ति की गणना कीजिये।

(उत्तर-3.48 H2]

6. HCI अणु की मूल कम्पन आवृत्ति 9.13 x 10¹³ Hz है। यदि इसके परमाणुओं को साम्यावस्था की स्थिति से 2A दूरी तक खींचा जाय जो किये गये कार्य की गणना कीजिये।

[उत्तर- 10.8 x 10^-18J]

7. दो समरूप LC परिपथों को इस प्रकार से प्रेरकत्वीय युग्मित किया गया है कि उनके युग्मन गुणांक का मान 0.2 है। यदि प्रत्येक LC परिपथ की प्राकृतिक आवृत्ति 1 KHz हो तो युग्मित निकाय के दोनों सामान्य विधाओं के कम्पन आवृत्तियों की गणना कीजिये।

(उत्तर- 913.2 Hz, 1118.6 Hz]

8. दो समरूप LC परिपथों को धारितीय युग्मित किया गया है। यदि प्रत्येक परिपथ में लगा प्रेरकत्व L= 10 mH तथा C= 5uF हो तो इन युग्मित परिपथों को कम्पित कराने पर सामान्य विधाओं की कोणीय कम्पन आवृत्तियों की गणना कीजिए ।[उत्तर- 44.7 x 10^-2 rad/s, तथा 77.4 x 10^-2 rad/s]
9. दो कण m द्रव्यमान के स्प्रिंगों से जुड़े हैं जिनके स्प्रिंग नियतांक क्रमशः k₁ है और उन्हें किसी स्प्रिग नियतांक k है से युग्मित जाता है, जैसा कि निम्र चित्र में प्रदर्शित है तो इस युग्मित निकाय के सामान्य विधाओं की आवृत्तियों की गणना कीजिये।

[उत्तर- ω₁ = √K₁/m  = तथा ω₂ = √(k₁ + 2k/m) ]

10. यदि किसी प्रत्यास्थ डोरी से जुड़े कणों की संख्या 3 हो, तो सिद्ध करो कि उसके सामान्य विधाओं की आवृत्तियाँ होगी

ω₁²  = (2 – √2) T/ma

ω₂² = 2T/ma

ω₃² = (2 + √2) T/ma