दो  द्रव्यमान m1  तथा m2 किसी द्रव्यमानहीन k स्प्रिंग नियतांक के स्प्रिंग से निम्न चित्रानुसार युग्मित है तथा घर्षण रहित तल पर रखे हैं।

संख्यात्मक उदाहरण

उदाहरण-1. दो  द्रव्यमान m₁  तथा m₂ किसी द्रव्यमानहीन k स्प्रिंग नियतांक के स्प्रिंग से निम्न चित्रानुसार युग्मित है तथा घर्षण रहित तल पर रखे हैं। यदि यह निकाय स्प्रिंग के लम्बाई के अनुदिश कम्पन करने के लिए स्वतंत्र हो तो सिद्ध करो कि इस निकाय की कम्पन आवृत्ति होगी

हल:     v = 1/2π  √k/u जहां  u = (m₁ m₂/m₁ + m₂) है।

माना x₂ >x₁ है तो स्प्रिंग की लम्बाई में वृद्धि = (x₂ – x₁)

स्प्रिंग में तनाव  F = k(x₂ –X₁)

द्रव्यमान m₁ के गति का समीकरण

M₁ d²x₁/dt² = k (x₂ –x₁) ……………………………….(1)

तथा द्रव्यमान m, के गति का समीकरण

m₂ d²x₂/dt² = – k (x₂ – X₁) ……………………………..(2)

समीकरण (1) को m₂ से तथा समीकरण (2) को m₁ से गुणा करने पर

M₂m₁ d²x₁/dt² = m₂k (x₂ – x₁) …………………………….(3)

तथा  m₂m₁ d²x₂/dt² = – m₁ k (x₂ – x₁) ……………………………(4)

समीकरण (4) में से समीकरण (3) को घटाने पर

M₁m₂ (d²x₂/dt² – d²x₁/dt²) = – k (m₁ + m₂)(x₂ – x₁)

M₁m₂ d²(x₂ – x₁)/dt² = – k (m₁ + m₂)(x₂ – x₁)

माना x = (x₂ – X₁)

M₁m₂ d²x/dt² = – k (m₁ + m₂)x

(m₁m₂/m₁ + m₂) d²x/dt² = – kx

माना u = (m₁m₂/m₁ + m₂) निकाय का समानीत द्रव्यमान (reduced mass) है। ।

U d²x/dt² = – kx

D²x/dt² =- k/u x …………………………………….(5)

समीकरण (5) किसी u द्रव्यमान के एकल, आवर्ती दोलक (single harmonic oscillator) के करण के समरूप है। अतः उसके दोलन काल का मान होगा

T = 2π √(u/k)

लेकिन आवृत्ति    v = 1/T

दोलन की आवृत्ति v = 1/2π √k/u

इसका उपयोग करके द्विपरमाणुक अणुओं की कम्पन आवत्ति का मान ज्ञात किया जा सकता है।

उदाहरण-2. दो एक समान सरल लोलक एक हल्की स्प्रिंग से युग्मित है और उनकी असामान्य आवृत्तियाँ 1: 2 के अनुपात में है। युग्मक स्प्रिंग के बल नियतांक की गणना करो यदि सरल लोलक के धागे की लम्बाई 1m तथा गोलक का द्रव्यमान 0.1kg है।

हल : एक हल्की स्प्रिंग से युग्मित दोलकों की प्रसामान्य आवृत्तियाँ

ω₁ = √ g/l

ω₂ = √ g/l + 2k/m

ω₂²/ ω₁² = 1 + 2kl/mg

प्रश्नानुसार   ω₂/ ω₁ = 2/1  m = 0.1 kg, l = 1 m

G = 9.8m/s²

4 = 1 + 2 x 1k/0.1 x 9.8

K = 3 x 0.1 x 9.8/2

k = 1.47 N/m

उदाहरण-3. दो द्रव्यमान 0.01 kg तथा 0.03 kg के एक द्रव्यमानहीन स्प्रिंग से जुड़े हैं जिसका स्प्रिंग नियतांक 10 Nm^-1है। यदि द्रव्यमान उनको जोड़ने वाली स्प्रिंग के लम्बाई के अनदिश कम्पन करने के लिए स्वतंत्र हो तो उनकी कम्पन आवृत्ति ज्ञात कीजिए तथा उनकी गतिज ऊर्जाओं के अनुपात की गणना करो।

हल : निकाय का समानीत द्रव्यमान

U = m₁m₂/m₁ + m₂ = 0.01 x 0.03/0.01 + 0.03 = 3/4 x 10^-2

अतः निकाय की कम्पन आवृत्ति

V = 1/2π  √ k/u

= 1/2π  √ 10/3/4 x 10^-2

= 1/2π  √ 10 x 4/3 x 10^-2 = 200/34.41 = 5.8 Hz

संवेग संरक्षण के नियम से

P₁ + P₂ = 0  P₁ = P₂

लेकिन m₁ द्रव्यमान की गतिज ऊर्जा E₁ = P₁²/2m₁

M₂ द्रव्यमान की गतिज ऊर्जा E₂ = p₂²/2m₁

E₁/E₂ = P₁²/P²₂ x 2m₂/2m₁ = 0.03/0.01 = 3/1

उदाहरण-4. HCI अणु के अन्तरापरमाणुक बल नियतांक का मान 5.4 x 10² Nm^-1 इस द्विपरमाणुक अणु के मूल कम्पन आवृत्ति का मान ज्ञात कीजिए। H परमाणु का द्रव्यमान -1.67 x 10^-27 kg तथा CI परमाणु का द्रव्यमान = 5.845 x10^-26 kg है।

हल : HCIअणु का समानीत द्रव्यमान

M = m₁m₂/m₁ + m₂ = 1.67 x 10^-27 x 5.845 x 10^-26/1.67 x 10^-27 + 5.845 x 10^-26

=  9.75 x 10^-53/ 0.162 x 10^-26 kg

HCIअणु की कम्पन आवृति

V = 1/2π  √ k/u = 1/2π  √ 5.4 x 10²/0.162 x 10^-26

= 1/2π  √ 5.4 x 10²⁸/0.162

= 1/2 √33.33 x 10²⁸

= 5.77 x 10¹⁴/6.28

= 0.918 x 10¹⁴

= 9.18 x 10¹³ Hz