दृढ़ पिण्ड गतिकी महत्वपूर्ण प्रश्न Rigid body dynamics important questions in hindi

Rigid body dynamics important questions in hindi दृढ़ पिण्ड गतिकी महत्वपूर्ण प्रश्न ?

प्रश्नावली (Exercise)

सैद्धांतिक वर्णनात्मक प्रश्न (Theoretical Descriptive Questions)

1. द्रव्यमान केन्द्र क्या होता है ? किसी बहकणीय तंत्र के द्रव्यमान केन्द्र के तात्कालिक स्थिति सदिश तथा वेग के लिये व्यंजक प्राप्त कीजिये।
2. सिद्ध करो कि बाह्य बलों की अनपस्थिति में द्रव्यमान केन्द्र का वेग नियत रहता है।
3. सिद्ध करो कि द्रव्यमान केन्द्र का त्वरण केवल बाहरी बलों के कारण होता है।
4. सिद्ध करो कि बहकणीय तंत्र की कल गतिज ऊर्जा का मान उस तंत्र के द्रव्यमान केन्द्र की गतिज ऊर्जा तथा द्रव्यमान केन्द्र के सापेक्ष कणों की कुल गतिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है।
5. सिद्ध करो कि द्वि-कण तंत्र के कणों की द्रव्यमान केन्द्र से दूरियों का अनुपात उनके द्रव्यमानों के व्युत्क्रमानुपात के बराबर होता है।
6. सिद्ध करो यदि किसी कण तंत्र पर कोई बाह्य बल नहीं लग रहा हो तो उसका रेखीय संवेग नियत रहता है।
7. सिद्ध करो कि किसी कण तंत्र का द्रव्यमान केन्द्र के सापेक्ष रेखीय संवेग शून्य होता है।
8. द्रव्यमान केन्द्र क्या होता है ? सिद्ध करो कि यदि किसी कण तंत्र का कुल संवेग संरक्षित है तो उसका द्रव्यमान केन्द्र या तो स्थिर है या नियत वेग से गतिमान है।
9. समानीत द्रव्यमान क्या होता है ? समानीत द्रव्यमान विचाराधारा से किस प्रकार द्विकण समस्या को एक कण की समस्या में परिवर्तित किया जा सकता है ? समझाइये।
10. समानीत द्रव्यमान की महत्ता को समझाइये तथा हाइड्रोजन परमाणु के लिये इसका क्या विशेष महत्त्व होता है?
11. द्रव्यमान केन्द्र निर्देश फ्रेम क्या होता है ? दो कणों की टक्कर का अध्ययन इस तंत्र में कीजिये। जबकि प्रयोगशाला तंत्र में एक कण को स्थिर अवस्था में माना गया है।
12. यदि दो कण टकराने के बाद चिपक जाते हैं तो उनके टक्कर को समझाइये। इस प्रकार के टक्कर में कितनी ऊर्जा की हानि होती है? इस टक्कर की द्रव्यमान केन्द्र निर्देश फ्रेम में विवेचना कीजिये।
13. 1 जब न्यूट्रॉन किसी मन्दक पदार्थ के परमाणुओं से व्कराता है तो इस टक्कर में कितनी ऊर्जा की हानि होती है? इसका विश्लेषण प्रयोगशाला निदेश फ्रेर तथा द्रव्यमान केन्द्र निर्देश फ्रेम में कीजिय। तथा मन्दक के रूप में पदार्थ की उपयुक्तता समझाइये,
14. किसी मन्दक पदार्थ में न्यूट्रॉन का मन्दन किस प्रकार होता है समझाइये न्यूट्रॉन के मन्दन के लिये D₂ O ही सबसे अधिक उपयुक्त क्यों है?

15 . यदि दो  कणों की टक्कर प्रत्यास्थ हो तथा टक्कर के पश्चात कण विभिन्न कोणों पर छिटक जात हैं तो इस टक्कर की विवेचना द्रव्यमान कन्द्र निर्देश फ्रेम में कीजिये

16. रॉकेट का सिद्धान्त समझाइये। सिद्ध करो कि रॉकेट के लिये होता है

v = v_o + v_r log (M_O/M) –gt

17. रॉकेट के सिद्धान्त को समझाइये तथा बहचरणी रॉकेट की आवश्यकता की विवेचना कीजिए।
18. (a) रॉकेट के सिद्धान्त का वर्णन कीजिये तथा इसकी अन्तिम चाल का व्यंजक प्राप्त कीजिये।।

(b) एकल रॉकेट की तुलना में बहुचरण रॉकेट के लाभों की विवेचना कीजिये।

19. कोणीय संवेग तथा बलाघूर्ण से आप से क्या समझते हैं ? सिद्ध करो कि किसी कण के कोणीय सवेग के परिवर्तन की दर उस पर आरोपित बल–आघूर्ण के बराबर होती है।
20. समझाइये

(i) कोणीय संवेग (ii) बल आघूर्ण (iii) कोणीय संवेग एवं बलाघूर्ण में सम्बन्ध ।

21. किसी कण तंत्र के कोणीय संवेग तथा बल-आघूर्ण की विवेचना कीजिए। सिद्ध करो कि किसी कण तत्र पर कुल बल-आघूर्ण उसके प्रत्येक कण पर बाह्य बल द्वारा लगने वाले बल-आघूर्ण का सदिश । योग होता है।
22. सिद्ध करो कि किसी कण तंत्र का किसी बिन्दु 0 के सापेक्ष कोणीय संवेग उस बिन्दु के सापेक्ष उसके द्रव्यमान केन्द्र के कोणीय संवेग तथा द्रव्यमान केन्द्र के सापेक्ष कण तंत्र के कोणीय संवेग के सदिश योग के तुल्य होता है।

J_o = J_omo +7_cm

23. कोणीय संवेग के संरक्षण के नियम को प्रतिपादित कीजिए। सिद्ध करो कि ग्रहीय गति में क्षेत्रफलीय वेग स्थिर रहता है।
24. भारी नाभिक द्वारा प्रोटोनों के प्रकीर्णन की विवेचना कीजिए तथा प्रोटोन की निकटतम पहँच की दूरी के लिए व्यंजक ज्ञात कीजिए।
25. कोणीय संवेग के संरक्षण का नियम बतलाइये। गैलेक्सी का आकार प्रायः गोलाकार न होकर लेन्स जैसी आकृति का होता है, क्यों ? समझाइये। ।
26. संक्षिप्त में विवेचना कीजिये

(i) द्रव्यमान केन्द्र (ii) समानीत द्रव्यमान (ii) रॉकेट (iv) कणों की टक्कर (v) रेखीय तथा कोणीय संवेग संरक्षण के नियम (vi) मन्दक पदार्थ में न्यूट्रॉनों का मंदन।

संख्यात्मक प्रश्न (Numerical Questions)

1. 2.4 तथा 6 ग्राम द्रव्यमान वाले कणों का द्रव्यमान केन्द्र (1,1,1 बिन्दु पर है। एक 4 ग्राम द्रव्यमान

वाले चौथे कण को कहाँ रखा जाय कि नये कण तंत्र के द्रव्यमान केन्द्र की स्थिति (0,0,0) बिन्दु। पर हो जाये?

[उत्तर : (-3,-3,-3)]

2. एक निकाय 10 ग्राम, 6 ग्राम तथा 4 ग्राम द्रव्यमान के कणा से मिल कर बना है इन कणों के स्थितियों क्रमशः (0,1,2,.)(-1,2,.3) तथा (1,1,1).हैं। इस निकाय के द्रव्यमान केन्द्र की स्थिति ज्ञात करो।

उत्तर : (-0.1, 1.3, 2.6)]

3. तीन कण जिनके द्रव्यमान क्रमशः 1 किलोग्राम 2 किलोग्राम तथा 3 किलोग्राम हैं किसी एक मीटर भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के कोणों पर स्थित हैं। इन कणों के निकाय के द्रव्यमान केन्द्र के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

[उत्तर: (7/12 , √3 /4 )]

4. एक कण तंत्र 5 ग्राम, 2 ग्राम, । ग्राम तथा 2 ग्राम द्रव्यमान के चार कणों से बना है जिनके स्थिति निर्देशांक क्रमशः (1,0,-1), (I.1.1).(0.1.5) तथा (1 ,1 -3) हैं। इस कण तंत्र के द्रव्यमान केन्द्र के स्थिति निर्देशांक तथा स्थिति सदिश ज्ञात करो [उत्तर 1/10 (9 i + 5 j – 4 k) , (9/10 , 1/2 , 2/5 )]
5. दो पिण्ड जिनके द्रव्यमान क्रमशः 10 किलोग्राम तथा 2 किलोग्राम हैं क्रमशः 2i -7j +3 k तथा -10i + 35j -4 kमीटर/से. के वेगों से गतिमान है। इस कण तंत्र के द्रव्यमान केन्द्र का वेग ज्ञात कीजिए।

[उत्तर: 2  kमीटर/से.

6 . 5 किलोग्राम तथा 8 किलोग्राम द्रव्यमान के दो कणों से बने तंत्र में प्रारम्भ में (t =0 पर) कणों के

स्थिति सदिश क्रमशः 3i +7j -5k  मीटर तथा 11 i -8j  +3 k मीटर हैं तथा उनके वेग क्रमशः 5i + 8j  +10 k  तथा 2i -12j +9k  मी./से. है तो कण तंत्र के द्रव्यमान केन्द्र की स्थिति तथा वेग।t = 0 तथा t – 5 सेकण्ड पर ज्ञात कीजिए।

उत्तर : t = 0 पर R_cm  = 103i -29j – k /13

V_cm  = 41i -56 j + 122k /13

t = 5 सेकण्ड पर R_cm  = 308i -251j+ 609k /13

7. 0.1 किग्रा तथा 0.2 किग्रा. द्रव्यमान के कणों का वेग टक्कर से पूर्व क्रमश: 5i तथा 2 i + 3 j मी./से. है टक्कर के पश्चात दोनों कण यदि एक दूसरे से चिपक जाते हैं तो गणना कीजिये(i) द्रव्यमान केन्द्र का वेग। (ii) प्रयोगशाला तंत्र में संयुक्त कण का अन्तिम संवेग(iii) दव्यमान केन्द्र तन्त्र में प्रारम्भिक तथा अन्तिम संग

उत्तर- (i) (3i +2j ) मी./से.

(ii) (0.9i  + 0.6j  किलोग्राम/से.

• शून्य, शून्य

8. दो कणों के स्थिति सदिश क्रमशः r₁ = 3r +5 j सेमी. तथा r₂ = –  5i -3j  सेमी. है। वे क्रम v₁  = 4j + 3j  सेमी./से. तथा  v₂ = ai +7i सेमी./से. के वेगों से गति करते हैं। ज्ञात कीजिये- (i) यदि वे टक्कर करें तो a का क्या मान होगा?

(ii) वे कब तथा कहाँ टकरायेंगे?

उत्तर- (i) a =8 (ii) t = 2 सेकंड तथा r = 11 i + 11 j सेमी

9. एक (10 +2j ) मी./से. से गतिमान बम दो टकड़ों में विभाजित होता है। यदि विस्फोट के बाद M द्रव्यमान के छोटे टुकड़े का वेग (20i + 50j मी./से. हो तो 3M द्रव्यमान के बड़े टुकड़े का वेग ज्ञात करो। द्रव्यमान केन्द्र निर्देश तन्त्र में इन टुकड़ों के वेग क्या होंगे? |

(उत्तर- 1/3  (20i -42j) मी./से. (10i -52 jमी /से. – 1/3 (10 i + 48 j ) मी ./से ]

10. दो कण जो केवल क्षैतिज तल में ही गति कर सकते हैं, परस्पर टकराते हैं।यदि कणों के द्रव्यमान

क्रमशः 85 ग्राम तथा 200 ग्राम हों तथा प्रारम्भ में उनके वेग क्रमशः 6.4i  तथा (-6.4i -2j ) सेमी./से. हो तो, गणना कीजिये। (i) द्रव्यमान केन्द्र का वेग () सम्पूर्ण रेखीय संवेग (ii) द्रव्यमान केन्द्र के सापेक्ष कणों के वेग या उस निर्देश तन्त्र में वेग जिसमें द्रव्यमान केन्द्र स्थिर स्थिति में हैं।

उत्तर =  (i)  (-2.98 i – 1.4 j )सेमी ./से.;

• (-796 i – 400 j ) सेमी ./से.
• (9.2 i + 1.4 j ) सेमी ./से.:

(-3.9 i – 0.6 j ) सेमी ./से

11. तीन टकराने वाले कणों के X.Y तथा Z अक्षों के अनुदिश प्रत्येक के वेग 10 सेमी./से. है तथा कणों के द्रव्यमान क्रमशः 20, 30 तथा 40 ग्राम है। यदि टकराने के पश्चात् दूसरे कण का वेग शून्य हो जाता है तथा तीसरे कण का वेग (6j + 8k ) सेमी./से. हो जाता है तो पहले कण का वेग ज्ञात करो। द्रव्यमान केन्द्र निर्देश तन्त्र में कणों के प्रारम्भिक वेग क्या होंगे।

उत्तर : v₁ = 10 i + 5 k सेमी./से v₁ = 8 i – 3 j – 5 k सेमी ./से.

v₂ = – 2 i + 7 j – 5 k सेमी v₃  = – 2 i – 3 j – 5 k सेमी  ./से.

12. स्थिर अवस्था में एक नाभिक, एक इलेक्ट्रॉन तथा एक न्यूट्रिनो उत्सर्जित कर क्षयित होता है। इलेक्ट्रॉन तथा न्यूट्रिनो परस्पर लम्बवत् दिशा में गति करते हैं तथा उनके संवेग क्रमशः 12.0x 10^-23 किग्रा. मी./से. तथा 6.4×10^-23 किग्रा.मी./से. है। अवशिष्ट नाभिक के संवेग का परिमाण ज्ञात कीजिये।

उत्तर- 13.6 x 10^-23  किग्रा. मी./से.)

13. एक गतिशील कण समान द्रव्यमान के दूसरे स्थिर कण से टक्कर करता है। टक्कर समक्ष नहीं है लेकिन पूर्णतः प्रत्यास्थ है। सिद्ध करो कि टक्कर के पश्चात् ये कण समकोणिक दिशा में गति करेंगे।
14. 0.2 किलोग्राम तथा 0.3 किलोग्राम के दो टुकड़े क्रमशः 0.5 मी./से. तथा । मीटर/से. के वेग से एक दूसरे की ओर एक क्षैतिज घर्षणहीन सतह पर गति करते हैं। यदि वे टकराकर चिपक जाते हैं। तो ज्ञात कीजिये-(i) संयुक्त पिण्ड का वेग (ii) टक्कर में गतिज ऊर्जा में हास

उत्तर : (i) 0.1 मी./से. (ii) 0.14 जूल]

15. एक ईंधन युक्त रॉकेट का द्रव्यमान 3×10⁴ किलो ग्राम है। यदि ईंधन का निर्वातक वेग 6000 मी./से. हो तो रॉकेट द्वारा प्राप्त अधिकतम वेग ज्ञात कीजिये । खाली रॉकेट का द्रव्यमान 300 किलोग्राम है।

उत्तर : 27.6 किलो मीटर/से.]

16. एक रॉकेट का द्रव्यमान 50 किलो ग्राम है तथा उसमें 350 किलोग्राम ईंधन भरा है। यदि गैस का निर्वातक वेग 2 किलो मीटर/से. हो तो पृथ्वी से ऊर्ध्वाधर उठने के लिये न्यूनतम कितने इंधन की आवश्यकता होगी? यदि ईंधन के जलने की दर 5 किलो ग्राम/से. हो तो रॉकेट का अन्तिम वेग ज्ञात करो।

उत्तर- 1.96 किलो ग्राम/से., 3467.8 किलो मीटर/से.]

17. 100 ग्राम द्रव्यमान के पिण्ड का स्थिति सदिश r = 10i + 6j सेमी. तथा उस स्थिति पर वेग v = 5 i  सेमी./से. है। पिण्ड का मूल बिन्दु के सापेक्ष कोणीय संवेग ज्ञात करो तथा उसकी दिशा बतलाइये।

(उत्तर : 3 x 10³ (-k) अर्ग सेकण्ड, – z  अक्ष के समानान्तर

18. एक बल F = – 3i + j + 5k न्यूटन एक बिन्दु (7i + 3j + k) मीटर पर कार्य कर रहा है। गणना करो- (a) मूल बिन्दु के सापेक्ष बल आघूर्ण (b) बिन्दु (0. 10,0) के सापेक्ष बल आघर्ण।

[उत्तर : (a) 14i – 38j + 16k न्यूटन-मीटर

(b) – 36i -38j -14k  न्यूटन-मीटर] 1

9. एक न्यटॉन जिसकी गतिज ऊजो I MeV है किसी नाभिक के पास से इस प्रकार गुजरता है कि उसकी निकटतम पहुँच की दूरी 10^-12 मीटर है। न्यूट्रॉन का कोणीय संवेग ज्ञात की ।

उत्तर : 2.311 x 10^-32 जूल-से.]

20. एक I Mev गतिज ऊर्जा वाले अल्फा कण की सान कनाभिक (Z = 79) के लिये निकटतम की दरी 4×10^-13 मी. है। संघात पैरामीटर ज्ञात करो

[उत्तर : 2.6 x 10^-13 मीटर

21 एक 0.6 किलोग्राम का पत्थर का टुकड़ा 0.6 माटर लम्बी डारी के एक सिरे पर बंधान चक्कर/से. से घूमता है। उसका कोणीय संवेग ज्ञात करो। यदि  30 सेकण्ड पश्चात यह 1 चक्कर/से. लगाये तो माध्य बल-आघूर्ण की गणना करो।

उत्तर : 4 जूल/से., 0.088 न्यूटन-मी.]

22 . एक  अल्फा कण 2×10⁶ मी./से. के वेग स गात करता हुआ सान के नाभिक (z = 70 ) की सीधी टक्कर करने के लिये गतिमान है। उसके  निकटतम पहुँच की दुरी  ज्ञात करो

[उत्तर :  2.7 x 10^-12 मीटर ]