घूर्णन त्रिज्या की परिभाषा क्या है ? , घूर्णन त्रिज्या का मात्रक है , in English Radius Of Rotation in hindi

Radius Of Rotation in hindi , घूर्णन त्रिज्या की परिभाषा क्या है ? , घूर्णन त्रिज्या का मात्रक है , in English :-

घूर्णन गतिज ऊर्जा : माना दृढ पिण्ड अपनी घूर्णन अक्ष के सापेक्ष कोणीय वेग w से घूर्णन कर रहा है जिसमें n कण उपस्थित है जिनके द्रव्यमान m₁ , m₂ , m₃ . . . . m_n है तथा घूर्णन अक्ष से लम्बवत दूरियाँ r₁ , r₂ , r₃ . . . . r_n है व रेखीय वेग v₁ , v₂ , v₃ . . . . v_n है।

अत: m₁ कण की घूर्णन गतिज ऊर्जा –

K₁ = m₁v₁²/2

v₁ = r₁w

K₁ = m₁(r₁w)²/2

K₁ = m₁r₁²w² /2

m₂ कण की घूर्णन गतिज ऊर्जा –

K₂ = m₂v₂²/2

v₂ = r₂w

K₂ = m₂(r₂w)²/2

K₂ = m₂r₂²w² /2

m₃ कण की घूर्णन गतिज ऊर्जा –

K₃ = m₃r₃²w² /2

n वें कण की घूर्णन गतिज ऊर्जा –

K_n = m_nr_n²w² /2

कुल घूर्णन गतिज ऊर्जा –

K = K₁ + K₂ + K₃ + . . . . . . . + K_n

K =  m₁r₁²w²/2  +   m₂r₂²w²/2  + m₃r₃²w²/2  + . . . . . + m_nr_n²w²/2

K = w²/2 [m₁r₁²  +   m₂r₂²  + m₃r₃²+ . . . . . + m_nr_n²]

चूँकि I =  [m₁r₁²  +   m₂r₂²  + m₃r₃²+ . . . . . + m_nr_n²]

K = I w²/2 समीकरण-1

चूँकि J = Iw

w = J/I

समीकरण 1 में –

w का मान समीकरण-1 में रखने पर –

K = I (J/I)²/2

K = J²/2I

J² = 2I K

J = √2KI

प्रश्न : दो पिण्डो की घूर्णन गतिज ऊर्जा का मान समान है तो बताइये कौनसे पिंड का जडत्व आघूर्ण अधिक होगा ?

उत्तर : K = J²/2I

दिया गया है –

K₁ = K₂

J₁²/2I₁ = J₂²/2I₂

J₁²/I₁ = J₂²/I₂

J₁²/J₂²  = I₁/I₂

J ∝ I

जिस पिण्ड का कोणीय संवेग अधिक होगा उसका जड़त्व आघूर्ण भी अधिक होगा।

प्रश्न : दो पिंडो के कोणीय संवेग समान है तो बताइये कौनसे पिण्ड का जडत्व आघूर्ण अधिक होगा ?

उत्तर : J = √2KI

दिया गया है –

J₁ = J₂

√2K₁I₁ = √2K₂I₂

K₁I₁ = K₂I₂

K₁/K₂ = I₂/I₁

K ∝ 1/I

घूर्णन त्रिज्या : घूर्णन त्रिज्या घूर्णन अक्ष से वह लम्बवत दूरी है जिसके वर्ग को पिण्ड के द्रव्यमान से गुणा करने पर पिण्ड का जड़त्व आघूर्ण प्राप्त होता है।

I = MK²

K = √(I/M)

यदि पिण्ड में n कण उपस्थित हो –

K = √(m₁r₁²  +   m₂r₂²  + m₃r₃²+ . . . . . + m_nr_n²)/(m₁  +   m₂  + m₃+ . . . . . + m_n)

यदि सभी कणों का द्रव्यमान समान हो तो –

m = m₁  =   m₂  = m₃ = . . . . . =  m_n

K = √(mr₁²  +   mr₂²  + mr₃²+ . . . . . + mr_n²)/(m  +   m  + m+ . . . . . + m)

K = √m(r₁²  +   r₂²  + r₃²+ . . . . . + r_n²)/nm

K = √[(r₁²  +   r₂²  + r₃²+ . . . . . + r_n²)/n]

घूर्णन त्रिज्या का मान घूर्णन अक्ष से प्रत्येक कण की लम्बवत दूरी के वर्ग माध्य मूल के बराबर होता है।

1. घूर्णन त्रिज्या का मान घूर्णन अक्ष की स्थिति तथा द्रव्यमान वितरण पर निर्भर करता है।
2. घूर्णन त्रिज्या का मान द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता है।

कोणीय संवेग संरक्षण का नियम : यदि किसी पिण्ड पर आरोपित बाह्य बल आघूर्ण का मान शून्य होता है तो पिण्ड का कोणीय संवेग नियत रहता है इसे कोणीय संवेग संरक्षण का नियम कहते है।

ग्रहों की गति में कोणीय संवेग का मान नियत रहता है।

किसी घूर्णन कर रही स्टूल के ऊपर खड़ा छात्र अपने हाथों में दो द्रव्यमान लिए हुए घूम रहा है तो इस स्थित में कोणीय वेग का मान घट जाता है। (हाथ फैलाए हुए)

यदि बालक हाथो को समेट लेता है तो उसका कोणीय वेग बढ़ जाता है क्योंकि जडत्व आघूर्ण का मान घट जाता है।

लम्बवत अक्षों की प्रमेय : किसी समतल पटल के तल में स्थित लम्बवत अक्ष के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण का मान अन्य दो लम्बवत अक्षों के सापेक्ष जडत्व आघूर्ण के योग के बराबर होता है लेकिन लम्बवत अक्ष उन दोनों अक्षो के कटान बिंदु से गुजरनी चाहिए।

I_z = I_A + I_y

माना p कोई कण है जिसके द्रव्यमान M है तथा बिन्दु θ से दूरी r है।

अत: x अक्ष के सापेक्ष पिण्ड का जड़त्व आघूर्ण –

I_x = ΣM_y²   . . . . समीकरण-1

y अक्ष के सापेक्ष पिण्ड का जड़त्व आघूर्ण –

I_y  = ΣM_x²   . . . . समीकरण-2

z अक्ष के सापेक्ष पिण्ड का जड़त्व आघूर्ण –

I_z  = ΣM_x²   . . . . समीकरण-3

ΔOPQ से

OP² = OQ² + PQ²

r² = x² + y²   समीकरण-4

समीकरण-4 को ΣM से गुणा करने पर –

ΣMr² = ΣMx² + ΣMy² समीकरण-5

समीकरण-5 में, 1 , 2 , 3 का मान रखने पर –

I_z = I_x + I_y

समान्तर अक्षों की प्रमेय : किसी दी हुई अक्ष के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण का मान पिण्ड के गुरुत्वीय केंद्र से जाने वाली अक्ष के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण तथा समान्तर अक्षो के मध्य दूरी के वेग का द्रव्यमान के साथ गुणनफल का योग जडत्व आघूर्ण के बराबर होता है।

I = I_G + Md²

माना ydy घूर्णन अक्ष है जिसके सापेक्ष पिण्ड घूर्णन कर रहा है तथा G गुरुत्वीय केंद्र है जिससे गुजरने वाली अक्ष AB , गुरूत्वीय अक्ष है।

ΔOPQ से –

OP² = OQ² + PQ²

चूँकि OQ = OG + GQ

OP² = OG² + GQ² + PQ² + 2 x OG x GQ  समीकरण-1

ΔPQ से –

GP² = GQ² + PQ² GQ² + PQ²

समीकरण-1 में मान रखने पर –

OP² = OG² + GP² + 2 x OG x GQ  समीकरण-2

ΔGP^’Q से –

Cosθ = GQ/GP

GQ = GPcosθ

OP² = OG² + GP² + 2 x OG x GPcosθ  समीकरण-3

समीकरण-3 को ΣM से गुणा करने पर –

ΣMOP² = ΣMOG² + ΣMGP² + ΣM x 2 x OG x GPcosθ

चूँकि ΣMOP² = I

चूँकि ΣMOG² = Md²

चूँकि ΣMGP² = IG

चूँकि ΣM = 2 x OG x GPcosθ = 0

I = Md² + IG

I = IG + Md²

लोटनी गति में गतिज ऊर्जा :लौटनी गति में रखिये गति व घूर्णन गति दोनों ही होती है।

गतिज ऊर्जा = रेखीय गतिज ऊर्जा + घूर्णन गतिज ऊर्जा

K = mv²/2  + Iw²/2  समीकरण-1

K = IW²/2

I = MK²

K = MK²W²/2

V = RW

W = V/R

K = MK²V²/2R² समीकरण-2

समीकरण-2 का मान 1 में रखने पर –

K = mv²/2   + mk²v²/2R²

K = mv²/2[1 + K²/R²]

वलय , चकती , छड , बेलन , ठोस गोले का जड़त्व आघूर्ण –

(A) वलय :

(i) तल के लम्बवत केंद्र के सापेक्ष –

I = MR²

(ii) व्यास के सापेक्ष –

I = MR²/2

(B) चकती :

(i) तल के लम्बवत केंद्र के सापेक्ष

I = MR²/2

(ii) व्यास के सापेक्ष –

I = MR²/4

(C) छड की लम्बाई के लम्बवत –

 I = MR²/12

(D) खोखले बेलन (अक्ष के सापेक्ष)

I = MR²

(ii) ठोस बेलन (अक्ष के सापेक्ष)

I = MR²/2

(E) ठोस गोले (व्यास के सापेक्ष)

I = 2MR²/5

रेखीय गति व रेखीय गति व घूर्णन गति की तुलना –

रेखीय गति व रेखीय गति	घूर्णन गति
विस्थापन = S	कोणीय विस्थापन = θ
रेखीय वेग V = ds/dt	कोणीय वेग w = dθ/dt
रेखीय त्वरण a = dv/dt	कोणीय त्वरण = dw/dt
बल F = Ma	बलाघूर्ण = Jw
शक्ति P = F.V	शक्ति P = Jw
गतिज ऊर्जा K = mv2/2	घूर्णन गतिज ऊर्जा K = Iw2/2
dp/dt = F कार्य w= F.ds	dJ/dt = I कार्य w = Id θ