एक द्वि-परमाणुक अणु के लिए स्थितिज ऊर्जा फलन को निम्न रूप में व्यक्त करते हैं , एक स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा है

संख्यात्मक उदाहरण

उदाहरण- 1. एक द्वि-परमाणुक अणु के लिए स्थितिज ऊर्जा फलन को निम्न रूप में व्यक्त करते हैं

Ux) = a/x¹² – b/x⁶

मध्य बल

यहाँ a तथा b धनात्मक नियतांक है और x परमाणुओं के मध्य दूरी है। परमाणुओं के मध्य बल  के लिए व्यंजक ज्ञात करो और x के किस मान के लिए U(x) = 0 तथा U(x) न्यूनतम होता है

हलः प्रश्नानुसार, किसी द्वि-परमाणुक अणु के लिए स्थितिज ऊर्जा

U(x) = a/x¹² – b/x⁶ ………………………..(1)

समीकरण (1) का अवकलन करने पर

∂U/∂x = – 12a/x¹³ + 6b/x⁷ ……………………(2)

बल   F = – ∂U/∂x = 12a/x¹³ – 6b/x⁷ ……………………….(3)

(i) U(x) = 0 के लिए

U(x) = a/x¹² – b/x⁶ = 0

X¹²/x⁶ = a/b

X = (a/b)^1/6 …………………(4)

(ii) स्थितिज ऊर्जा न्यूनतम होने के लिए आवश्यक है कि F = – du/dx = 0 तथा d²U/dx² धनात्मक हो।

समीकरण (3) से

12a/x¹³ – 6b/x⁷ = 0

X¹³/x⁷ = 12a/6b

X = (2a/b)^1/6 ………………………….(5)

समीकरण (2) का अवकलन करने पर

∂U/ ∂x² = 156a/x¹⁴ – 42b/x⁸

X = (2a/b)^1/6

∂²U/ ∂x² = 156a (2a/b)^-14/6 -42b (2a/b)^-8/6

= 39 b²/a (b/2a)^1/3 – 21 b²/a (b/2a)^1/3

= 18 b²/a (b/2a)^1/3 = धनात्मक

अतः x = (2a/b)^1/6 पर स्थितिज ऊर्जा का मान न्यूनतम होता है।

उदाहरण- 2. एक स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा है : U(x) =  1/2 = cx² – csx³

जहां स्प्रिंग का विस्तार x है तथा c एवं s स्थिरांक है। लघु दोलन के सन्निकटन में सिंगर जुड़े m द्रव्यमान के एक लोलक की दोलन आवृत्ति ज्ञात कीजिए।

हल : एक स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा

U(x) =1/2 cx² – c sx³

कण की दोलनी गति के लिए आवश्यक शर्त है कि स्थितिज ऊर्जा न्यूनतम तथा d²U/dx² का मान धनात्मक हो। साम्य स्थिति के लिए

का मान

dU/dx = cx -3 csx²

साम्यवस्था स्थिति

X₀ = 0 तथा x₀ = 1/3s

N_o = 0 पर d² U/dx² = c = धनात्मक

N_o = 1/3s  पर d²U/dx²  =- c ऋणात्मक

X₀ = 0 पर स्थायी साम्यावस्था होती है।

बल नियतांक  k = c

आवर्तकाल  T = 2π √m/c

उदाहरण- 3. यदि स्थितिज ऊर्जा वक्र का समीकरण U = a cos a x है तो

• सिद्ध करो कि x = (2n + 1) π/a स्थायी सन्तुलन की स्थितियां होंगी।

(ii) यदि कण की कुल ऊर्जा E है तो विभव कूप से केन्द्र पर अधिकतम गतिज ऊर्जा (E+a) होती है।

• यदि कण की कुल ऊर्जा (-a/2) तो दोलक का आयाम एवं आवर्तकाल ज्ञात करो।

हल : (i) स्थायी सन्तुलन की स्थिति पर स्थितिज ऊर्जा न्यूनतम होती है।

Cos a x = – 1

X₀ = (2n + 1) π/a           n = 0,1,2 …………….

कुल ऊर्जा = गतिज ऊर्जा + स्थितिज ऊर्जा

E = K +U= E + a cos ax

K_max = E- U_min

=E-(-a) = (E + a)

(ii) स्थायी सन्तुलन की स्थिति पर

k= mω₀² = (d²U/dx²) _{x = x0}

= -a a² cos a x|_{x = x0}

= a a²

ω₀ = √(aa²/m)

आवर्तकाल  T = 2π √m/aa²

महत्तम गतिज ऊर्जा  = 1/2 m ω₀² A²

E + a = 1/2 m ω₀²A²

E = -a/2

a/2 = m/2 . aa²/m A²

A = 1/a

उदाहरण- 4. एक दोलक निम्न सम्बन्ध के अनुसार सरल आवर्ती गति करता है :

x = 10 sin (2πt + π/6)m

• t = 2 s पर दोलक का विस्थापन, वेग तथा त्वरण ज्ञात करो।

(ii) यदि दोलक का द्रव्यमान 2 kg है तो इसी समय पर प्रत्यानयन बल, गतिज ऊर्जा एवं

हल: प्रश्नानुसार,

आयाम a= 10 m

आवृत्ति ω₀ = 2π rad/s

प्रारम्भिक कला φ = π/6

(i) दोलक का विस्थापन

x = 10 sin (2πt + π/6)m

t = 2s पर

x = 10 sin (4π + π/6] – 10 sin π/6

= 10 x 1/2 = 5m

दोलक का वेग

v = aω₀ cos (ω₀t + φ)

t = 2s पर

v = 10 x 2π cos (2π x 2 + π/6)

= 20 π cos π/6 = 20π = √ 3/2

= 10 π √3 m/s

दोलक का त्वरण f = – ω₀² x

T = 2s पर x = 5 m

F =-(2π)² x 5

=- 20π² m/sec²

(ii) प्रत्यानयन बल F =- m ω₀²x

=- 2 x (2π)² x 5

=- 40 π² N

स्थितिज ऊर्जा U = 1/2 m ω₀²x²

= 1/2 x 2 x (2π)² x 5²

= 100 π² J

गतिज ऊर्जा K = 1/2  mv²

= 1/2 x 2 x (10 π √ 3)²

= 300 π²

उदाहरण- 5. एक सरल आवर्त गति करता हुआ कण जब माध्य स्थिति से x₁ तथा X₂ दुरी पर होता है तो उसके वेग v₁ तथा वेग v₂ होते हैं। कण का आवर्त काल तथा आयाम ज्ञात करो

हलः x₁  विस्थापन पर दोलक का वेग v₁ = ω₀  √a² – x₁² …………………(1)

X₂ विस्थापन पर दोलक का वेग v₂ = ω₀ √ a² – x²₂

जहाँ दोलक का आयाम a तथा स्वाभाविक आवृत्ति ω₀ है।

समीकरण (1) व (2) का वर्ग करके भाग देने पर

V₁²/v₂² = a² – x²₁/a² – x²₂

A = √x₂² v²₁ – x₁² v²₂/v₁² – v²₂

समीकरण (1) व (2) का वर्ग करके घटाने पर

V₁² – v₂² = ω₀² (x₂² – x₁²)

ω₀ = √v₁² – v²₂/x₂² – x₁²

T = 2π/ ω₀ = 2π √x₂² – x₁²/v₁² – v₂²

उदाहरण- 6. सिद्ध कीजिए कि स्थिति के सापेक्ष सरल आवर्ती दोलक की माध्य गतिज ऊर्जा 1/2  = mω₀²a² तथा माध्य स्थितिज ऊर्जा 1/6 m ω₀²a² होती है।

या

सिद्ध कीजिए कि एक सरल आवर्त दोलक की माध्य गतिज ऊर्जा, माध्य स्थितिज ऊर्जा की दुगुनी होती है जबकि माध्य स्थिति के सापेक्ष लिया जाता है।

हल : सरल आवर्त्त दोलक की गतिज ऊर्जा

K = 1/2 mω₀² (a² –x²)

स्थिति के सापेक्ष माध्य गतिज ऊर्जा

<K> = 1/a = ∫ K dx

= 1/2 ∫ 1/2 m ω₀² (a² – x²)dx = m ω₀²/2a [a²x – x³/3]

= 1/3 m ω₀²a²

सरल आवर्त दोलन की स्थितिज ऊर्जा

U = 1/2 m ω₀²x²

स्थिति के सापेक्ष माध्य स्थितिज ऊर्जा

<U> = 1/2 ∫ Udx

= 1/2 ∫ 1/2 ω₀²x² dx = ω₀²/2a [x³/3]

= 1/6 ω₀²a²

<K> = 2 <U>